Номер 21.21, страница 68, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§21. Формулы двойного аргумента и формулы понижения степени. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 21.21, страница 68.

21.21 a) $\cos^2 3t = \frac{1 + \sin \left(\frac{\pi}{2} - 6t\right)}{2}$;

б) $\frac{1 - \cos t}{1 + \cos t} = \text{tg}^2 \frac{t}{2}$;

в) $\cos^2 3t = \frac{1 - \cos (6t - 3\pi)}{2}$;

г) $\frac{1 - \cos t}{\sin t} = \text{tg} \frac{t}{2}$.

а) Для доказательства данного тождества преобразуем его правую часть. Сначала воспользуемся формулой приведения для синуса: $\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos \alpha$. В нашем случае $\alpha = 6t$, поэтому правая часть тождества принимает вид:
$\frac{1 + \sin(\frac{\pi}{2} - 6t)}{2} = \frac{1 + \cos(6t)}{2}$.
Теперь рассмотрим левую часть. Используем формулу понижения степени (или формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = 2\cos^2x - 1$, откуда $\cos^2x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$). Применим эту формулу для $x = 3t$:
$\cos^2 3t = \frac{1 + \cos(2 \cdot 3t)}{2} = \frac{1 + \cos(6t)}{2}$.
Поскольку преобразованные левая и правая части тождества равны, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

б) Для доказательства этого тождества преобразуем левую часть, используя формулы двойного угла, выраженные через половинный аргумент. Известно, что:
$1 - \cos t = 2\sin^2\frac{t}{2}$
$1 + \cos t = 2\cos^2\frac{t}{2}$
Подставим эти выражения в левую часть исходного равенства:
$\frac{1 - \cos t}{1 + \cos t} = \frac{2\sin^2\frac{t}{2}}{2\cos^2\frac{t}{2}}$.
Сократив на 2, получим:
$\frac{\sin^2\frac{t}{2}}{\cos^2\frac{t}{2}} = \left(\frac{\sin\frac{t}{2}}{\cos\frac{t}{2}}\right)^2$.
По определению тангенса $\text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$, поэтому полученное выражение равно $\text{tg}^2\frac{t}{2}$.
Таким образом, левая часть равна правой. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

в) Преобразуем правую часть тождества. Упростим выражение под знаком косинуса в числителе, используя свойства периодичности и четности функции косинус.
$\cos(6t - 3\pi) = \cos(6t - \pi - 2\pi)$.
Так как период косинуса равен $2\pi$, то $\cos(\alpha - 2\pi) = \cos \alpha$. Следовательно:
$\cos(6t - \pi - 2\pi) = \cos(6t - \pi)$.
Используя формулу приведения $\cos(\alpha - \pi) = -\cos \alpha$, получаем:
$\cos(6t - \pi) = -\cos(6t)$.
Подставим это в правую часть исходного тождества:
$\frac{1 - \cos(6t - 3\pi)}{2} = \frac{1 - (-\cos(6t))}{2} = \frac{1 + \cos(6t)}{2}$.
Это выражение совпадает с результатом, полученным для левой части в пункте а): $\cos^2 3t = \frac{1 + \cos(6t)}{2}$.
Следовательно, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

г) Для доказательства преобразуем левую часть тождества, используя формулы половинного угла.
Числитель: $1 - \cos t = 2\sin^2\frac{t}{2}$.
Знаменатель (используя формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$ для $\alpha = t/2$): $\sin t = 2\sin\frac{t}{2}\cos\frac{t}{2}$.
Подставим эти выражения в левую часть:
$\frac{1 - \cos t}{\sin t} = \frac{2\sin^2\frac{t}{2}}{2\sin\frac{t}{2}\cos\frac{t}{2}}$.
Сократим общий множитель $2\sin\frac{t}{2}$ в числителе и знаменателе (при условии, что $\sin\frac{t}{2} \neq 0$):
$\frac{\sin\frac{t}{2}}{\cos\frac{t}{2}}$.
По определению, это выражение равно $\text{tg}\frac{t}{2}$, что соответствует правой части тождества.
Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.