Номер 21.26, страница 68, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§21. Формулы двойного аргумента и формулы понижения степени. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 21.26, страница 68.

21.26 a) $1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2};$

б) $1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}.$

а) Требуется доказать тождество $1 - \cos x = 2\sin^2\frac{x}{2}$. Это одна из формул понижения степени, которая выводится из формулы косинуса двойного угла.
Исходная формула косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, из которого выразим $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$.
Подставим это выражение в формулу косинуса двойного угла:
$\cos(2\alpha) = (1 - \sin^2\alpha) - \sin^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha$.
Теперь сделаем замену переменной. Пусть $2\alpha = x$, тогда $\alpha = \frac{x}{2}$.
Подставив эту замену в выведенную формулу, получим:
$\cos x = 1 - 2\sin^2\frac{x}{2}$.
Далее, преобразуем это равенство, чтобы привести его к виду из условия задачи. Перенесем $2\sin^2\frac{x}{2}$ в левую часть, а $\cos x$ в правую:
$2\sin^2\frac{x}{2} = 1 - \cos x$.
Таким образом, тождество доказано.
Ответ: Тождество $1 - \cos x = 2\sin^2\frac{x}{2}$ доказано на основе формулы косинуса двойного угла.

б) Требуется доказать тождество $1 + \cos x = 2\cos^2\frac{x}{2}$. Это также формула понижения степени, выводимая аналогичным образом.
Вновь начнем с формулы косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.
Из основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ выразим $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$.
Подставим это выражение в формулу косинуса двойного угла:
$\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - (1 - \cos^2\alpha) = \cos^2\alpha - 1 + \cos^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$.
Сделаем ту же замену: пусть $2\alpha = x$, тогда $\alpha = \frac{x}{2}$.
Подставляем в полученную формулу:
$\cos x = 2\cos^2\frac{x}{2} - 1$.
Перенесем $-1$ в левую часть равенства:
$\cos x + 1 = 2\cos^2\frac{x}{2}$.
Записав слагаемые в левой части в другом порядке, получаем искомое тождество: $1 + \cos x = 2\cos^2\frac{x}{2}$.
Таким образом, тождество доказано.
Ответ: Тождество $1 + \cos x = 2\cos^2\frac{x}{2}$ доказано на основе формулы косинуса двойного угла.