Номер 21.31, страница 69, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§21. Формулы двойного аргумента и формулы понижения степени. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 21.31, страница 69.

21.31 a) $sin 11^\circ 15^\prime cos 11^\circ 15^\prime cos 22^\circ 30^\prime cos 45^\circ$;

б) $sin \frac{\pi}{48} cos \frac{\pi}{48} cos \frac{\pi}{24} cos \frac{\pi}{12}$.

а) Для решения данной задачи воспользуемся формулой синуса двойного угла: $ \sin(2\alpha) = 2 \sin\alpha \cos\alpha $, из которой следует, что $ \sin\alpha \cos\alpha = \frac{1}{2} \sin(2\alpha) $.
Исходное выражение: $ \sin 11^\circ 15' \cos 11^\circ 15' \cos 22^\circ 30' \cos 45^\circ $.
Сгруппируем первые два множителя и применим к ним формулу:
$ \sin 11^\circ 15' \cos 11^\circ 15' = \frac{1}{2} \sin(2 \cdot 11^\circ 15') = \frac{1}{2} \sin(22^\circ 30') $.
Подставим это обратно в выражение:
$ (\frac{1}{2} \sin 22^\circ 30') \cos 22^\circ 30' \cos 45^\circ = \frac{1}{2} (\sin 22^\circ 30' \cos 22^\circ 30') \cos 45^\circ $.
Снова применим ту же формулу для выражения в скобках:
$ \sin 22^\circ 30' \cos 22^\circ 30' = \frac{1}{2} \sin(2 \cdot 22^\circ 30') = \frac{1}{2} \sin(45^\circ) $.
Подставим результат в наше выражение:
$ \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2} \sin 45^\circ) \cos 45^\circ = \frac{1}{4} \sin 45^\circ \cos 45^\circ $.
И еще раз применим формулу:
$ \sin 45^\circ \cos 45^\circ = \frac{1}{2} \sin(2 \cdot 45^\circ) = \frac{1}{2} \sin(90^\circ) $.
Теперь наше выражение выглядит так:
$ \frac{1}{4} \cdot (\frac{1}{2} \sin 90^\circ) = \frac{1}{8} \sin 90^\circ $.
Так как $ \sin 90^\circ = 1 $, получаем конечный результат:
$ \frac{1}{8} \cdot 1 = \frac{1}{8} $.
Ответ: $ \frac{1}{8} $.

б) Решение аналогично пункту а). Используем ту же формулу: $ \sin\alpha \cos\alpha = \frac{1}{2} \sin(2\alpha) $.
Исходное выражение: $ \sin \frac{\pi}{48} \cos \frac{\pi}{48} \cos \frac{\pi}{24} \cos \frac{\pi}{12} $.
Применим формулу к первым двум множителям:
$ \sin \frac{\pi}{48} \cos \frac{\pi}{48} = \frac{1}{2} \sin(2 \cdot \frac{\pi}{48}) = \frac{1}{2} \sin(\frac{\pi}{24}) $.
Подставим это обратно в выражение:
$ (\frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{24}) \cos \frac{\pi}{24} \cos \frac{\pi}{12} = \frac{1}{2} (\sin \frac{\pi}{24} \cos \frac{\pi}{24}) \cos \frac{\pi}{12} $.
Снова применим формулу к выражению в скобках:
$ \sin \frac{\pi}{24} \cos \frac{\pi}{24} = \frac{1}{2} \sin(2 \cdot \frac{\pi}{24}) = \frac{1}{2} \sin(\frac{\pi}{12}) $.
Подставим результат в наше выражение:
$ \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{12}) \cos \frac{\pi}{12} = \frac{1}{4} \sin \frac{\pi}{12} \cos \frac{\pi}{12} $.
Применим формулу в последний раз:
$ \sin \frac{\pi}{12} \cos \frac{\pi}{12} = \frac{1}{2} \sin(2 \cdot \frac{\pi}{12}) = \frac{1}{2} \sin(\frac{\pi}{6}) $.
Теперь наше выражение выглядит так:
$ \frac{1}{4} \cdot (\frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{8} \sin \frac{\pi}{6} $.
Так как $ \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $, получаем конечный результат:
$ \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{16} $.
Ответ: $ \frac{1}{16} $.