Номер 21.30, страница 69, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§21. Формулы двойного аргумента и формулы понижения степени. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 21.30, страница 69.

21.30 Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку $[0; 2\pi]$:

а) $\cos 2x + 3 \sin x = 1$;

б) $\sin^2 x = -\cos 2x$;

в) $\cos 2x = \cos^2 x$;

г) $\cos 2x = 2 \sin^2 x$.

а) Решим уравнение $ \cos{2x} + 3\sin{x} = 1 $.

Для приведения уравнения к одной тригонометрической функции используем формулу косинуса двойного угла: $ \cos{2x} = 1 - 2\sin^2{x} $. Подставим это выражение в исходное уравнение:

$ (1 - 2\sin^2{x}) + 3\sin{x} = 1 $

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$ 1 - 2\sin^2{x} + 3\sin{x} - 1 = 0 $

$ -2\sin^2{x} + 3\sin{x} = 0 $

Вынесем общий множитель $ \sin{x} $ за скобки:

$ \sin{x} (3 - 2\sin{x}) = 0 $

Это уравнение распадается на два случая:

1) $ \sin{x} = 0 $. Общее решение этого уравнения имеет вид $ x = n\pi $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

2) $ 3 - 2\sin{x} = 0 $, откуда $ \sin{x} = \frac{3}{2} $. Данное уравнение не имеет действительных корней, так как область значений функции синус $ [-1; 1] $, а $ \frac{3}{2} > 1 $.

Теперь выберем корни из серии $ x = n\pi $, которые принадлежат отрезку $ [0; 2\pi] $.

Для этого решим двойное неравенство: $ 0 \le n\pi \le 2\pi $. Разделив все части на $ \pi $, получим $ 0 \le n \le 2 $.

Так как $ n $ — целое число, то подходящие значения: $ n=0, n=1, n=2 $.

При $ n=0 \implies x = 0 $.

При $ n=1 \implies x = \pi $.

При $ n=2 \implies x = 2\pi $.

Ответ: $0; \pi; 2\pi$.

б) Решим уравнение $ \sin^2{x} = -\cos{2x} $.

Используем формулу косинуса двойного угла $ \cos{2x} = \cos^2{x} - \sin^2{x} $:

$ \sin^2{x} = -(\cos^2{x} - \sin^2{x}) $

$ \sin^2{x} = -\cos^2{x} + \sin^2{x} $

Перенесем все члены в одну сторону:

$ \sin^2{x} - \sin^2{x} + \cos^2{x} = 0 $

$ \cos^2{x} = 0 $, что равносильно $ \cos{x} = 0 $.

Общее решение этого уравнения: $ x = \frac{\pi}{2} + n\pi $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Найдем корни, принадлежащие отрезку $ [0; 2\pi] $. Решим неравенство:

$ 0 \le \frac{\pi}{2} + n\pi \le 2\pi $

Разделим на $ \pi $: $ 0 \le \frac{1}{2} + n \le 2 $.

Вычтем $ \frac{1}{2} $ из всех частей: $ -\frac{1}{2} \le n \le 1.5 $.

Целые значения $ n $, удовлетворяющие этому неравенству: $ n=0 $ и $ n=1 $.

При $ n=0 \implies x = \frac{\pi}{2} $.

При $ n=1 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2} $.

Ответ: $\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}$.

в) Решим уравнение $ \cos{2x} = \cos^2{x} $.

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла $ \cos{2x} = 2\cos^2{x} - 1 $:

$ 2\cos^2{x} - 1 = \cos^2{x} $

Перенесем все члены с переменной в левую часть, а константы — в правую:

$ 2\cos^2{x} - \cos^2{x} = 1 $

$ \cos^2{x} = 1 $

Это уравнение распадается на два:

1) $ \cos{x} = 1 $, откуда $ x = 2n\pi, n \in \mathbb{Z} $.

2) $ \cos{x} = -1 $, откуда $ x = \pi + 2k\pi, k \in \mathbb{Z} $.

Объединив эти две серии решений, получаем $ x = m\pi $, где $ m \in \mathbb{Z} $.

Найдем корни, принадлежащие отрезку $ [0; 2\pi] $.

Решим неравенство $ 0 \le m\pi \le 2\pi $, что дает $ 0 \le m \le 2 $.

Целые значения $ m $: $ 0, 1, 2 $.

При $ m=0 \implies x = 0 $.

При $ m=1 \implies x = \pi $.

При $ m=2 \implies x = 2\pi $.

Ответ: $0; \pi; 2\pi$.

г) Решим уравнение $ \cos{2x} = 2\sin^2{x} $.

Снова используем формулу $ \cos{2x} = 1 - 2\sin^2{x} $:

$ 1 - 2\sin^2{x} = 2\sin^2{x} $

Перенесем члены с $ \sin^2{x} $ в правую часть:

$ 1 = 4\sin^2{x} $

$ \sin^2{x} = \frac{1}{4} $

Отсюда получаем два уравнения:

1) $ \sin{x} = \frac{1}{2} $.

2) $ \sin{x} = -\frac{1}{2} $.

Найдем корни для каждого случая на отрезке $ [0; 2\pi] $.

Для $ \sin{x} = \frac{1}{2} $ корни на тригонометрической окружности находятся в первой и второй четвертях: $ x = \frac{\pi}{6} $ и $ x = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} $.

Для $ \sin{x} = -\frac{1}{2} $ корни находятся в третьей и четвертой четвертях: $ x = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} $ и $ x = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6} $.

Все четыре найденных значения принадлежат отрезку $ [0; 2\pi] $.

Ответ: $\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}; \frac{7\pi}{6}; \frac{11\pi}{6}$.