Номер 21.34, страница 69, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§21. Формулы двойного аргумента и формулы понижения степени. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 21.34, страница 69.

21.34 a) $cos^2 t - cos^2 (\frac{\pi}{4} - t) = \frac{1}{\sqrt{2}} \sin (\frac{\pi}{4} - 2t);$

б) $sin^2 t - sin^2 (\frac{\pi}{4} - t) = \frac{1}{\sqrt{2}} \sin (2t - \frac{\pi}{4}).$

а)

Требуется доказать тождество: $cos^2 t - cos^2(\frac{\pi}{4} - t) = \frac{1}{\sqrt{2}} \sin(\frac{\pi}{4} - 2t)$.

Для доказательства преобразуем левую и правую части равенства к одному и тому же виду.

1. Преобразуем левую часть, используя формулу понижения степени $cos^2 \alpha = \frac{1 + cos(2\alpha)}{2}$.

$cos^2 t - cos^2(\frac{\pi}{4} - t) = \frac{1 + cos(2t)}{2} - \frac{1 + cos(2(\frac{\pi}{4} - t))}{2}$

Раскроем скобки в аргументе второго косинуса:

$\frac{1 + cos(2t)}{2} - \frac{1 + cos(\frac{\pi}{2} - 2t)}{2} = \frac{1 + cos(2t) - 1 - cos(\frac{\pi}{2} - 2t)}{2} = \frac{cos(2t) - cos(\frac{\pi}{2} - 2t)}{2}$

Используем формулу приведения $cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = sin(\alpha)$:

$\frac{cos(2t) - sin(2t)}{2}$

2. Теперь преобразуем правую часть, используя формулу синуса разности $sin(\alpha - \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) - cos(\alpha)sin(\beta)$.

$\frac{1}{\sqrt{2}} \sin(\frac{\pi}{4} - 2t) = \frac{1}{\sqrt{2}} (\sin(\frac{\pi}{4})cos(2t) - cos(\frac{\pi}{4})\sin(2t))$

Подставим значения $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$:

$\frac{1}{\sqrt{2}} (\frac{1}{\sqrt{2}}cos(2t) - \frac{1}{\sqrt{2}}\sin(2t)) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} (cos(2t) - \sin(2t)) = \frac{1}{2}(cos(2t) - \sin(2t))$

3. Сравниваем результаты преобразований левой и правой частей:

$\frac{cos(2t) - sin(2t)}{2} = \frac{1}{2}(cos(2t) - \sin(2t))$

Так как левая и правая части равны, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б)

Требуется доказать тождество: $\sin^2 t - \sin^2(\frac{\pi}{4} - t) = \frac{1}{\sqrt{2}} \sin(2t - \frac{\pi}{4})$.

Для доказательства также преобразуем обе части равенства.

1. Преобразуем левую часть, используя формулу понижения степени $\sin^2 \alpha = \frac{1 - cos(2\alpha)}{2}$.

$\sin^2 t - \sin^2(\frac{\pi}{4} - t) = \frac{1 - cos(2t)}{2} - \frac{1 - cos(2(\frac{\pi}{4} - t))}{2}$

$\frac{1 - cos(2t)}{2} - \frac{1 - cos(\frac{\pi}{2} - 2t)}{2} = \frac{1 - cos(2t) - 1 + cos(\frac{\pi}{2} - 2t)}{2} = \frac{cos(\frac{\pi}{2} - 2t) - cos(2t)}{2}$

Используем формулу приведения $cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = sin(\alpha)$:

$\frac{\sin(2t) - cos(2t)}{2}$

2. Теперь преобразуем правую часть, используя формулу синуса разности $sin(\alpha - \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) - cos(\alpha)sin(\beta)$.

$\frac{1}{\sqrt{2}} \sin(2t - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} (\sin(2t)cos(\frac{\pi}{4}) - cos(2t)\sin(\frac{\pi}{4}))$

Подставим значения $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$:

$\frac{1}{\sqrt{2}} (\sin(2t)\frac{1}{\sqrt{2}} - cos(2t)\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} (\sin(2t) - cos(2t)) = \frac{1}{2}(\sin(2t) - cos(2t))$

3. Сравниваем результаты:

$\frac{\sin(2t) - cos(2t)}{2} = \frac{1}{2}(\sin(2t) - cos(2t))$

Левая и правая части тождественно равны.

Ответ: Тождество доказано.