Номер 21.29, страница 69, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§21. Формулы двойного аргумента и формулы понижения степени. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 21.29, страница 69.

21.29 а) $\sin^2 \left(2x - \frac{\pi}{6}\right) = \frac{3}{4};$

б) $\cos^2 \left(x + \frac{\pi}{3}\right) = 1;$

в) $\sin^2 \left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \frac{1}{2};$

г) $\cos^2 \left(3x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{3}{4}.$

а) $ \sin^2\left(2x - \frac{\pi}{6}\right) = \frac{3}{4} $

Для решения данного уравнения воспользуемся формулой понижения степени $ \sin^2\alpha = \frac{1-\cos(2\alpha)}{2} $.

$ \frac{1 - \cos\left(2\left(2x - \frac{\pi}{6}\right)\right)}{2} = \frac{3}{4} $

Умножим обе части на 2:

$ 1 - \cos\left(4x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{3}{2} $

Выразим косинус:

$ \cos\left(4x - \frac{\pi}{3}\right) = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2} $

Общее решение для уравнения $ \cos t = a $ имеет вид $ t = \pm\arccos(a) + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

В нашем случае $ t = 4x - \frac{\pi}{3} $ и $ a = -\frac{1}{2} $.

$ 4x - \frac{\pi}{3} = \pm\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi n $

Так как $ \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3} $, получаем:

$ 4x - \frac{\pi}{3} = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n $

Рассмотрим два случая:

1) $ 4x - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n $

$ 4x = \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{3} + 2\pi n $

$ 4x = \pi + 2\pi n $

$ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z} $

2) $ 4x - \frac{\pi}{3} = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n $

$ 4x = -\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{3} + 2\pi n $

$ 4x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n $

$ x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}; x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z} $.

б) $ \cos^2\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = 1 $

Данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$ \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = 1 $ или $ \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = -1 $

Это можно объединить в одно уравнение. Косинус равен $ \pm 1 $ в точках, кратных $ \pi $:

$ x + \frac{\pi}{3} = \pi n, n \in \mathbb{Z} $

Выразим $ x $:

$ x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

в) $ \sin^2\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \frac{1}{2} $

Используем формулу приведения $ \sin(x + \frac{\pi}{2}) = \cos x $. Уравнение примет вид:

$ (\cos x)^2 = \frac{1}{2} $

$ \cos^2 x = \frac{1}{2} $

Применим формулу понижения степени $ \cos^2\alpha = \frac{1+\cos(2\alpha)}{2} $:

$ \frac{1+\cos(2x)}{2} = \frac{1}{2} $

$ 1+\cos(2x) = 1 $

$ \cos(2x) = 0 $

Это частный случай тригонометрического уравнения, решение которого:

$ 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

Разделим обе части на 2:

$ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z} $.

г) $ \cos^2\left(3x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{3}{4} $

Используем формулу понижения степени $ \cos^2\alpha = \frac{1+\cos(2\alpha)}{2} $:

$ \frac{1+\cos\left(2\left(3x - \frac{\pi}{4}\right)\right)}{2} = \frac{3}{4} $

$ 1+\cos\left(6x - \frac{\pi}{2}\right) = \frac{3}{2} $

$ \cos\left(6x - \frac{\pi}{2}\right) = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2} $

Применим формулу приведения $ \cos(\alpha - \frac{\pi}{2}) = \sin\alpha $:

$ \sin(6x) = \frac{1}{2} $

Общее решение для уравнения $ \sin t = a $ имеет вид $ t = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

В нашем случае $ t = 6x $ и $ a = \frac{1}{2} $.

$ 6x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n $

Так как $ \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6} $, получаем:

$ 6x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n $

Разделим обе части на 6:

$ x = (-1)^n \frac{\pi}{36} + \frac{\pi n}{6}, n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = (-1)^n \frac{\pi}{36} + \frac{\pi n}{6}, n \in \mathbb{Z} $.