Номер 21.27, страница 68, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§21. Формулы двойного аргумента и формулы понижения степени. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 21.27, страница 68.

21.27 а) $1 - \cos x = \sin x \sin \frac{x}{2}$;

б) $\sin x = \text{tg}^2 \frac{x}{2} (1 + \cos x)$.

а) Исходное уравнение: $1 - \cos x = \sin x \sin \frac{x}{2}$.
Для решения уравнения воспользуемся формулами половинного угла. Заменим левую и правую части уравнения, используя следующие тождества:
$1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$
$\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$
Подставим эти выражения в исходное уравнение:
$2 \sin^2 \frac{x}{2} = \left(2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}\right) \cdot \sin \frac{x}{2}$
$2 \sin^2 \frac{x}{2} = 2 \sin^2 \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$
Перенесем все слагаемые в одну сторону:
$2 \sin^2 \frac{x}{2} - 2 \sin^2 \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = 0$
Вынесем общий множитель $2 \sin^2 \frac{x}{2}$ за скобки:
$2 \sin^2 \frac{x}{2} \left(1 - \cos \frac{x}{2}\right) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассматриваем два случая:
1. $\sin^2 \frac{x}{2} = 0 \implies \sin \frac{x}{2} = 0$
$\frac{x}{2} = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
$x = 2 \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2. $1 - \cos \frac{x}{2} = 0 \implies \cos \frac{x}{2} = 1$
$\frac{x}{2} = 2 \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
$x = 4 \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Вторая серия решений ($x = 4 \pi k$) является подмножеством первой серии решений ($x = 2 \pi n$), так как при $n = 2k$ мы получаем $x = 2\pi(2k) = 4\pi k$. Следовательно, все корни уравнения можно описать первой серией.
Ответ: $x = 2 \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Исходное уравнение: $\sin x = \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2} (1 + \cos x)$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Функция тангенса $\operatorname{tg} \frac{x}{2}$ определена, если ее аргумент не равен $\frac{\pi}{2} + \pi k$, то есть $\cos \frac{x}{2} \neq 0$.
$\frac{x}{2} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x \neq \pi + 2 \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Преобразуем уравнение, используя тригонометрические формулы:
$\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$
$1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$
$\operatorname{tg}^2 \frac{x}{2} = \frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}}$
Подставляем в исходное уравнение:
$2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = \frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}} \cdot \left(2 \cos^2 \frac{x}{2}\right)$
С учетом ОДЗ ($\cos \frac{x}{2} \neq 0$), мы можем сократить дробь на $\cos^2 \frac{x}{2}$:
$2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$
Переносим все в левую часть и делим на 2:
$\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2} = 0$
Выносим общий множитель $\sin \frac{x}{2}$ за скобки:
$\sin \frac{x}{2} \left(\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}\right) = 0$
Рассматриваем два случая:
1. $\sin \frac{x}{2} = 0$
$\frac{x}{2} = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
$x = 2 \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Данная серия корней удовлетворяет ОДЗ.
2. $\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2} = 0 \implies \cos \frac{x}{2} = \sin \frac{x}{2}$
Поскольку из ОДЗ следует, что $\cos \frac{x}{2} \neq 0$, мы можем разделить обе части на $\cos \frac{x}{2}$:
$1 = \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}} \implies \operatorname{tg} \frac{x}{2} = 1$
$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{\pi}{2} + 2 \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$. Эта серия корней также удовлетворяет ОДЗ.
В итоге получаем две независимые серии решений.
Ответ: $x = 2 \pi n, x = \frac{\pi}{2} + 2 \pi m$, где $n, m \in \mathbb{Z}$.