Номер 21.32, страница 69, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§21. Формулы двойного аргумента и формулы понижения степени. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 21.32, страница 69.

21.32 a) $\frac{1 + \cos 40^\circ + \cos 80^\circ}{\sin 80^\circ + \sin 40^\circ} \cdot \tan 40^\circ;$

б) $\frac{1 - \cos 25^\circ + \cos 50^\circ}{\sin 50^\circ - \sin 25^\circ} - \tan 65^\circ.$

а)

Рассмотрим выражение $\frac{1 + \cos 40^\circ + \cos 80^\circ}{\sin 80^\circ + \sin 40^\circ} \cdot \text{tg } 40^\circ$.

Для упрощения дроби преобразуем её числитель и знаменатель, используя тригонометрические формулы двойного угла.

Преобразуем числитель: $1 + \cos 40^\circ + \cos 80^\circ$.

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$. Для $\cos 80^\circ$ имеем $\cos 80^\circ = \cos(2 \cdot 40^\circ) = 2\cos^2 40^\circ - 1$.

Подставим это в числитель:

$1 + \cos 40^\circ + (2\cos^2 40^\circ - 1) = \cos 40^\circ + 2\cos^2 40^\circ$.

Вынесем общий множитель $\cos 40^\circ$ за скобки:

$\cos 40^\circ(1 + 2\cos 40^\circ)$.

Теперь преобразуем знаменатель: $\sin 80^\circ + \sin 40^\circ$.

Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$. Для $\sin 80^\circ$ имеем $\sin 80^\circ = \sin(2 \cdot 40^\circ) = 2\sin 40^\circ \cos 40^\circ$.

Подставим это в знаменатель:

$2\sin 40^\circ \cos 40^\circ + \sin 40^\circ$.

Вынесем общий множитель $\sin 40^\circ$ за скобки:

$\sin 40^\circ(2\cos 40^\circ + 1)$.

Теперь вернемся к исходной дроби и подставим преобразованные числитель и знаменатель:

$\frac{\cos 40^\circ(1 + 2\cos 40^\circ)}{\sin 40^\circ(2\cos 40^\circ + 1)} = \frac{\cos 40^\circ}{\sin 40^\circ} = \text{ctg } 40^\circ$.

Таким образом, всё выражение можно переписать как:

$\text{ctg } 40^\circ \cdot \text{tg } 40^\circ$.

На основании основного тригонометрического тождества $\text{ctg }\alpha \cdot \text{tg }\alpha = 1$, получаем:

$\text{ctg } 40^\circ \cdot \text{tg } 40^\circ = 1$.

Ответ: $1$.

б)

Рассмотрим выражение $\frac{1 - \cos 25^\circ + \cos 50^\circ}{\sin 50^\circ - \sin 25^\circ} - \text{tg } 65^\circ$.

Упростим дробь, используя тот же подход, что и в пункте а).

Преобразуем числитель: $1 - \cos 25^\circ + \cos 50^\circ$.

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$. Для $\cos 50^\circ$ имеем $\cos 50^\circ = \cos(2 \cdot 25^\circ) = 2\cos^2 25^\circ - 1$.

Подставим это в числитель:

$1 - \cos 25^\circ + (2\cos^2 25^\circ - 1) = -\cos 25^\circ + 2\cos^2 25^\circ$.

Вынесем общий множитель $\cos 25^\circ$ за скобки:

$\cos 25^\circ(2\cos 25^\circ - 1)$.

Теперь преобразуем знаменатель: $\sin 50^\circ - \sin 25^\circ$.

Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$. Для $\sin 50^\circ$ имеем $\sin 50^\circ = \sin(2 \cdot 25^\circ) = 2\sin 25^\circ \cos 25^\circ$.

Подставим это в знаменатель:

$2\sin 25^\circ \cos 25^\circ - \sin 25^\circ$.

Вынесем общий множитель $\sin 25^\circ$ за скобки:

$\sin 25^\circ(2\cos 25^\circ - 1)$.

Теперь подставим преобразованные выражения в дробь:

$\frac{\cos 25^\circ(2\cos 25^\circ - 1)}{\sin 25^\circ(2\cos 25^\circ - 1)} = \frac{\cos 25^\circ}{\sin 25^\circ} = \text{ctg } 25^\circ$.

Выражение принимает вид:

$\text{ctg } 25^\circ - \text{tg } 65^\circ$.

Используем формулу приведения $\text{tg}(90^\circ - \alpha) = \text{ctg }\alpha$ для преобразования $\text{tg } 65^\circ$:

$\text{tg } 65^\circ = \text{tg}(90^\circ - 25^\circ) = \text{ctg } 25^\circ$.

Подставим полученное значение в выражение:

$\text{ctg } 25^\circ - \text{ctg } 25^\circ = 0$.

Ответ: $0$.