Номер 21.35, страница 69, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§21. Формулы двойного аргумента и формулы понижения степени. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 21.35, страница 69.

21.35 Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = f(x)$, если:

a) $f(x) = 2 \cos 2x + \sin^2 x$;

б) $f(x) = 2 \sin^2 3x - \cos 6x$.

а) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = 2\cos2x + \sin^2x$ преобразуем ее, приведя к одной тригонометрической функции одного аргумента.
Воспользуемся формулой понижения степени для синуса: $\sin^2x = \frac{1 - \cos2x}{2}$.
Подставим это выражение в исходную функцию:
$f(x) = 2\cos2x + \frac{1 - \cos2x}{2} = 2\cos2x + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos2x$
$f(x) = (2 - \frac{1}{2})\cos2x + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\cos2x + \frac{1}{2}$
Теперь найдем область значений полученной функции. Область значений косинуса — отрезок $[-1, 1]$, то есть:
$-1 \le \cos2x \le 1$
Умножим все части неравенства на $\frac{3}{2}$:
$-\frac{3}{2} \le \frac{3}{2}\cos2x \le \frac{3}{2}$
Прибавим ко всем частям неравенства $\frac{1}{2}$:
$-\frac{3}{2} + \frac{1}{2} \le \frac{3}{2}\cos2x + \frac{1}{2} \le \frac{3}{2} + \frac{1}{2}$
$-1 \le f(x) \le 2$
Таким образом, наименьшее значение функции равно -1, а наибольшее — 2.
Ответ: наименьшее значение функции: -1, наибольшее значение функции: 2.

б) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = 2\sin^23x - \cos6x$ преобразуем ее. Заметим, что $6x = 2 \cdot (3x)$.
Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$.
Применим эту формулу для $\alpha = 3x$:
$\cos6x = 1 - 2\sin^23x$
Подставим это выражение в исходную функцию:
$f(x) = 2\sin^23x - (1 - 2\sin^23x) = 2\sin^23x - 1 + 2\sin^23x$
$f(x) = 4\sin^23x - 1$
Теперь найдем область значений полученной функции. Область значений синуса — отрезок $[-1, 1]$:
$-1 \le \sin3x \le 1$
Возведем в квадрат. Так как квадрат любого числа из отрезка $[-1, 1]$ находится в отрезке $[0, 1]$, то:
$0 \le \sin^23x \le 1$
Умножим все части неравенства на 4:
$0 \le 4\sin^23x \le 4$
Вычтем из всех частей неравенства 1:
$0 - 1 \le 4\sin^23x - 1 \le 4 - 1$
$-1 \le f(x) \le 3$
Следовательно, наименьшее значение функции равно -1, а наибольшее — 3.
Ответ: наименьшее значение функции: -1, наибольшее значение функции: 3.