Номер 21.42, страница 70, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§21. Формулы двойного аргумента и формулы понижения степени. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 21.42, страница 70.

21.42 Найдите наибольший отрицательный корень (в градусах) уравне-ния:

a) $ \cos x = \frac{\sin 22,5^\circ \cos 22,5^\circ}{\cos^2 67,5^\circ - \sin^2 67,5^\circ}$;

б) $ \sin x = \frac{\sin^2 75^\circ - \cos^2 75^\circ}{4 \sin 15^\circ \cos 15^\circ}$.

a)

Рассмотрим уравнение $ \cos x = \frac{\sin 22,5^\circ \cos 22,5^\circ}{\cos^2 67,5^\circ - \sin^2 67,5^\circ} $.

Упростим правую часть уравнения, используя тригонометрические формулы двойного угла: $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $ и $ \cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha $.

Преобразуем числитель:

$ \sin 22,5^\circ \cos 22,5^\circ = \frac{1}{2} (2 \sin 22,5^\circ \cos 22,5^\circ) = \frac{1}{2} \sin(2 \cdot 22,5^\circ) = \frac{1}{2} \sin 45^\circ = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} $.

Преобразуем знаменатель:

$ \cos^2 67,5^\circ - \sin^2 67,5^\circ = \cos(2 \cdot 67,5^\circ) = \cos 135^\circ = -\cos 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в уравнение:

$ \cos x = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4}}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \left(-\frac{2}{\sqrt{2}}\right) = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2} $.

Решим уравнение $ \cos x = -\frac{1}{2} $.

Общее решение в градусах имеет вид: $ x = \pm \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 360^\circ \cdot n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

$ \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = 120^\circ $.

Таким образом, получаем две серии решений:

1) $ x = 120^\circ + 360^\circ \cdot n $

2) $ x = -120^\circ + 360^\circ \cdot n $

Нам нужно найти наибольший отрицательный корень. Переберем значения $ n $.

Для первой серии: при $ n=0, x = 120^\circ $ (положительный); при $ n=-1, x = 120^\circ - 360^\circ = -240^\circ $.

Для второй серии: при $ n=0, x = -120^\circ $; при $ n=1, x = -120^\circ + 360^\circ = 240^\circ $ (положительный).

Сравнивая отрицательные корни $ -240^\circ $ и $ -120^\circ $, выбираем наибольший.

Наибольший отрицательный корень равен $ -120^\circ $.

Ответ: $ -120^\circ $

б)

Рассмотрим уравнение $ \sin x = \frac{\sin^2 75^\circ - \cos^2 75^\circ}{4 \sin 15^\circ \cos 15^\circ} $.

Упростим правую часть уравнения, используя те же формулы двойного угла.

Преобразуем числитель:

$ \sin^2 75^\circ - \cos^2 75^\circ = -(\cos^2 75^\circ - \sin^2 75^\circ) = -\cos(2 \cdot 75^\circ) = -\cos 150^\circ $.

Так как $ \cos 150^\circ = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} $, то числитель равен $ -(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Преобразуем знаменатель:

$ 4 \sin 15^\circ \cos 15^\circ = 2 \cdot (2 \sin 15^\circ \cos 15^\circ) = 2 \sin(2 \cdot 15^\circ) = 2 \sin 30^\circ = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 $.

Подставим упрощенные выражения в уравнение:

$ \sin x = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Решим уравнение $ \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Общее решение в градусах можно записать в виде двух серий:

1) $ x = \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 360^\circ \cdot k = 60^\circ + 360^\circ \cdot k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

2) $ x = 180^\circ - \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 360^\circ \cdot k = 180^\circ - 60^\circ + 360^\circ \cdot k = 120^\circ + 360^\circ \cdot k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Нам нужно найти наибольший отрицательный корень. Переберем значения $ k $.

Для первой серии: при $ k=0, x = 60^\circ $ (положительный); при $ k=-1, x = 60^\circ - 360^\circ = -300^\circ $.

Для второй серии: при $ k=0, x = 120^\circ $ (положительный); при $ k=-1, x = 120^\circ - 360^\circ = -240^\circ $.

Сравнивая отрицательные корни $ -300^\circ $ и $ -240^\circ $, выбираем наибольший.

Наибольший отрицательный корень равен $ -240^\circ $.

Ответ: $ -240^\circ $