Номер 21.44, страница 70, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§21. Формулы двойного аргумента и формулы понижения степени. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 21.44, страница 70.

21.44 Найдите корни уравнения на заданном промежутке:

a) $4\sin x + \sin 2x = 0, x \in [0; 2\pi];$

б) $\cos^2 \left(3x + \frac{\pi}{4}\right) - \sin^2 \left(3x + \frac{\pi}{4}\right) + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0, x \in \left[\frac{3\pi}{4}; \pi\right].$

а) Дано уравнение $4\sin x + \sin 2x = 0$ на промежутке $x \in [0; 2\pi]$.
Для решения воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin 2x = 2\sin x \cos x$.
Подставим ее в исходное уравнение:
$4\sin x + 2\sin x \cos x = 0$
Вынесем общий множитель $2\sin x$ за скобки:
$2\sin x (2 + \cos x) = 0$
Это уравнение распадается на два:
1) $2\sin x = 0 \implies \sin x = 0$.
Общее решение: $x = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2) $2 + \cos x = 0 \implies \cos x = -2$.
Это уравнение не имеет решений, так как область значений функции косинус $[-1, 1]$.
Следовательно, нам нужно выбрать корни из серии $x = k\pi$, которые принадлежат промежутку $[0; 2\pi]$.
- при $k=0$, $x = 0 \cdot \pi = 0$. Корень подходит.- при $k=1$, $x = 1 \cdot \pi = \pi$. Корень подходит.- при $k=2$, $x = 2 \cdot \pi = 2\pi$. Корень подходит.- при $k=3$, $x = 3\pi$, что больше $2\pi$.- при отрицательных $k$ корни будут меньше 0.
Таким образом, на заданном промежутке уравнение имеет три корня.

Ответ: $0, \pi, 2\pi$.

б) Дано уравнение $\cos^2(3x + \frac{\pi}{4}) - \sin^2(3x + \frac{\pi}{4}) + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$ на промежутке $x \in [\frac{3\pi}{4}; \pi]$.
Используем формулу косинуса двойного угла: $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.
В данном случае $\alpha = 3x + \frac{\pi}{4}$, следовательно, $2\alpha = 2(3x + \frac{\pi}{4}) = 6x + \frac{\pi}{2}$.
Уравнение принимает вид:
$\cos(6x + \frac{\pi}{2}) + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$
$\cos(6x + \frac{\pi}{2}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Общее решение для аргумента косинуса:
$6x + \frac{\pi}{2} = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Так как $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{5\pi}{6}$, получаем:
$6x + \frac{\pi}{2} = \pm \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$
Рассмотрим две серии решений:
1) $6x + \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$
$6x = \frac{5\pi}{6} - \frac{3\pi}{6} + 2k\pi = \frac{2\pi}{6} + 2k\pi = \frac{\pi}{3} + 2k\pi$
$x = \frac{\pi}{18} + \frac{k\pi}{3}$
2) $6x + \frac{\pi}{2} = -\frac{5\pi}{6} + 2k\pi$
$6x = -\frac{5\pi}{6} - \frac{3\pi}{6} + 2k\pi = -\frac{8\pi}{6} + 2k\pi = -\frac{4\pi}{3} + 2k\pi$
$x = -\frac{4\pi}{18} + \frac{k\pi}{3} = -\frac{2\pi}{9} + \frac{k\pi}{3}$
Теперь найдем корни, принадлежащие промежутку $[\frac{3\pi}{4}; \pi]$.
Для первой серии $x = \frac{\pi}{18} + \frac{k\pi}{3}$ решим неравенство:
$\frac{3\pi}{4} \le \frac{\pi}{18} + \frac{k\pi}{3} \le \pi \implies \frac{3}{4} \le \frac{1}{18} + \frac{k}{3} \le 1$
Умножим на 36: $27 \le 2 + 12k \le 36 \implies 25 \le 12k \le 34 \implies \frac{25}{12} \le k \le \frac{34}{12}$.
В этом интервале $2.08... \le k \le 2.83...$ нет целых значений $k$.
Для второй серии $x = -\frac{2\pi}{9} + \frac{k\pi}{3}$ решим неравенство:
$\frac{3\pi}{4} \le -\frac{2\pi}{9} + \frac{k\pi}{3} \le \pi \implies \frac{3}{4} \le -\frac{2}{9} + \frac{k}{3} \le 1$
Умножим на 36: $27 \le -8 + 12k \le 36 \implies 35 \le 12k \le 44 \implies \frac{35}{12} \le k \le \frac{44}{12}$.
В этом интервале $2.91... \le k \le 3.66...$ есть одно целое значение: $k=3$.
Найдем корень при $k=3$:
$x = -\frac{2\pi}{9} + \frac{3\pi}{3} = -\frac{2\pi}{9} + \pi = \frac{7\pi}{9}$.
Этот корень принадлежит заданному промежутку, так как $\frac{3\pi}{4} = \frac{27\pi}{36}$ и $\frac{7\pi}{9} = \frac{28\pi}{36}$, а $\pi = \frac{36\pi}{36}$.

Ответ: $\frac{7\pi}{9}$.