Номер 21.45, страница 71, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§21. Формулы двойного аргумента и формулы понижения степени. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 21.45, страница 71.

21.45 Сколько корней имеет уравнение $2 \cos^2 \frac{x}{2} - \cos \frac{\pi}{9} = 1$ на отрезке $[-2\pi; 2\pi]$? Найдите эти корни.

Дано уравнение $2 \cos^2 \frac{x}{2} - \cos \frac{\pi}{9} = 1$.

Для решения уравнения воспользуемся формулой понижения степени для косинуса: $2 \cos^2 \alpha = 1 + \cos(2\alpha)$. В данном уравнении $\alpha = \frac{x}{2}$, следовательно, $2 \cos^2 \frac{x}{2} = 1 + \cos x$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:
$(1 + \cos x) - \cos \frac{\pi}{9} = 1$

Упростим полученное выражение, вычтя 1 из обеих частей уравнения:
$\cos x - \cos \frac{\pi}{9} = 0$
$\cos x = \cos \frac{\pi}{9}$

Общее решение этого тригонометрического уравнения представляет собой совокупность двух серий корней:
$x = \pm \frac{\pi}{9} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь необходимо найти корни, принадлежащие заданному отрезку $[-2\pi; 2\pi]$. Рассмотрим каждую серию отдельно.

1. Для серии корней $x = \frac{\pi}{9} + 2\pi k$:
Составим и решим двойное неравенство:
$-2\pi \le \frac{\pi}{9} + 2\pi k \le 2\pi$
Разделив все части на $\pi$, получим:
$-2 \le \frac{1}{9} + 2k \le 2$
$-\frac{19}{9} \le 2k \le \frac{17}{9}$
$-\frac{19}{18} \le k \le \frac{17}{18}$
Целочисленные значения $k$, удовлетворяющие этому неравенству, это $k = -1$ и $k = 0$.
При $k = -1$ получаем корень: $x = \frac{\pi}{9} - 2\pi = -\frac{17\pi}{9}$.
При $k = 0$ получаем корень: $x = \frac{\pi}{9}$.

2. Для серии корней $x = -\frac{\pi}{9} + 2\pi k$:
Составим и решим двойное неравенство:
$-2\pi \le -\frac{\pi}{9} + 2\pi k \le 2\pi$
Разделив все части на $\pi$, получим:
$-2 \le -\frac{1}{9} + 2k \le 2$
$-\frac{17}{9} \le 2k \le \frac{19}{9}$
$-\frac{17}{18} \le k \le \frac{19}{18}$
Целочисленные значения $k$, удовлетворяющие этому неравенству, это $k = 0$ и $k = 1$.
При $k = 0$ получаем корень: $x = -\frac{\pi}{9}$.
При $k = 1$ получаем корень: $x = -\frac{\pi}{9} + 2\pi = \frac{17\pi}{9}$.

Таким образом, на отрезке $[-2\pi; 2\pi]$ уравнение имеет четыре различных корня.
Ответ: уравнение имеет 4 корня; корни: $-\frac{17\pi}{9}; -\frac{\pi}{9}; \frac{\pi}{9}; \frac{17\pi}{9}$.