Номер 21.43, страница 70, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§21. Формулы двойного аргумента и формулы понижения степени. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 21.43, страница 70.

21.43 Решите уравнение:

а) $3 \sin 2x + \cos 2x = 1$;

б) $\cos 4x + 2 \sin 4x = 1$.

а) $3 \sin(2x) + \cos(2x) = 1$

Перенесем $\cos(2x)$ в правую часть уравнения: $3 \sin(2x) = 1 - \cos(2x)$.

Воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)$ и формулой понижения степени для косинуса $1 - \cos(2\alpha) = 2 \sin^2(\alpha)$. В нашем уравнении аргумент двойного угла равен $2x$, значит, половинный угол будет $x$.

Применяя эти формулы, получаем: $3 \cdot (2 \sin(x) \cos(x)) = 2 \sin^2(x)$.

Перенесем все члены в левую часть и упростим: $6 \sin(x) \cos(x) - 2 \sin^2(x) = 0$.

Вынесем общий множитель $2 \sin(x)$ за скобки: $2 \sin(x) (3 \cos(x) - \sin(x)) = 0$.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум независимым уравнениям.

1) $2 \sin(x) = 0 \implies \sin(x) = 0$. Решениями этого уравнения являются: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $3 \cos(x) - \sin(x) = 0$. Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Заметим, что $\cos(x) \neq 0$, так как если бы $\cos(x) = 0$, то из уравнения следовало бы, что $\sin(x) = 0$, что противоречит основному тригонометрическому тождеству $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$. Следовательно, можно разделить обе части уравнения на $\cos(x)$: $3 - \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = 0$. $3 - \tan(x) = 0 \implies \tan(x) = 3$. Решениями этого уравнения являются: $x = \arctan(3) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \arctan(3) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $\cos(4x) + 2 \sin(4x) = 1$

Это уравнение схоже с предыдущим. Перепишем его в виде: $2 \sin(4x) = 1 - \cos(4x)$.

Снова используем формулы двойного угла. В данном случае аргумент двойного угла равен $4x$, поэтому половинный угол будет $2x$: $\sin(4x) = 2 \sin(2x) \cos(2x)$, $1 - \cos(4x) = 2 \sin^2(2x)$.

Подставим эти выражения в уравнение: $2 \cdot (2 \sin(2x) \cos(2x)) = 2 \sin^2(2x)$.

Упростим и перенесем все в левую часть: $4 \sin(2x) \cos(2x) - 2 \sin^2(2x) = 0$.

Вынесем общий множитель $2 \sin(2x)$ за скобки: $2 \sin(2x) (2 \cos(2x) - \sin(2x)) = 0$.

Это уравнение также распадается на два случая.

1) $2 \sin(2x) = 0 \implies \sin(2x) = 0$. $2x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$. $x = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

2) $2 \cos(2x) - \sin(2x) = 0$. Это однородное уравнение. Разделим обе части на $\cos(2x)$ (который не равен нулю по аналогии с пунктом а): $2 - \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} = 0$. $2 - \tan(2x) = 0 \implies \tan(2x) = 2$. $2x = \arctan(2) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. $x = \frac{\arctan(2)}{2} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\arctan(2)}{2} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.