Номер 21.48, страница 71, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§21. Формулы двойного аргумента и формулы понижения степени. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 21.48, страница 71.

21.48 Докажите тождество:

a) $\sin x = \frac{2 \operatorname{tg} \frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}$;

б) $\cos x = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}$.

а) Для доказательства тождества $ \sin x = \frac{2 \operatorname{tg} \frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}} $ преобразуем его правую часть.

Для начала, выразим тангенс через синус и косинус, используя определение $ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $:
$ \frac{2 \operatorname{tg} \frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}} = \frac{2 \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}}{1 + \frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}}} $

Теперь упростим знаменатель дроби, приведя его к общему знаменателю:
$ 1 + \frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}} = \frac{\cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}} $

Согласно основному тригонометрическому тождеству $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $, выражение в числителе знаменателя равно 1. Следовательно, знаменатель всей дроби равен $ \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}} $. Подставим это обратно:
$ \frac{2 \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}}{\frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}}} $

Разделив числитель на знаменатель, получаем:
$ 2 \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}} \cdot \cos^2 \frac{x}{2} = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} $

Применим формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha $, где $ \alpha = \frac{x}{2} $:
$ 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = \sin \left(2 \cdot \frac{x}{2}\right) = \sin x $

Мы преобразовали правую часть выражения к левой, таким образом, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

б) Для доказательства тождества $ \cos x = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}} $ также преобразуем его правую часть.

Заменим тангенс на отношение синуса к косинусу:
$ \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}} = \frac{1 - \frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}}}{1 + \frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}}} $

Приведем числитель и знаменатель к общему знаменателю $ \cos^2 \frac{x}{2} $:
$ \frac{\frac{\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}}}{\frac{\cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}}} $

Используя основное тригонометрическое тождество $ \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 $ в знаменателе, упростим выражение:
$ \frac{\frac{\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}}}{\frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}}} $

После деления и сокращения $ \cos^2 \frac{x}{2} $ получаем:
$ \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2} $

Применим формулу косинуса двойного угла $ \cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha $, где $ \alpha = \frac{x}{2} $:
$ \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2} = \cos \left(2 \cdot \frac{x}{2}\right) = \cos x $

Мы преобразовали правую часть выражения к левой, таким образом, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.