Номер 22.2, страница 72, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§22. Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 22.2, страница 72.

22.2 a) $\cos 15^\circ + \cos 45^\circ$;

б) $\cos 46^\circ - \cos 74^\circ$;

В) $\cos 20^\circ + \cos 40^\circ$;

Г) $\cos 75^\circ - \cos 15^\circ$.

а) Для преобразования суммы косинусов в произведение используется формула суммы косинусов: $ \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2} $.
В нашем случае $ \alpha = 15^\circ $ и $ \beta = 45^\circ $.
$ \cos 15^\circ + \cos 45^\circ = 2 \cos\frac{15^\circ+45^\circ}{2} \cos\frac{15^\circ-45^\circ}{2} = 2 \cos\frac{60^\circ}{2} \cos\frac{-30^\circ}{2} = 2 \cos 30^\circ \cos(-15^\circ) $.
Так как косинус — четная функция, $ \cos(-15^\circ) = \cos 15^\circ $. Значение $ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Подставляем известные значения:
$ 2 \cos 30^\circ \cos 15^\circ = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos 15^\circ = \sqrt{3} \cos 15^\circ $.
Ответ: $ \sqrt{3} \cos 15^\circ $.

б) Для преобразования разности косинусов в произведение используется формула разности косинусов: $ \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2} $.
В данном случае $ \alpha = 46^\circ $ и $ \beta = 74^\circ $.
$ \cos 46^\circ - \cos 74^\circ = -2 \sin\frac{46^\circ+74^\circ}{2} \sin\frac{46^\circ-74^\circ}{2} = -2 \sin\frac{120^\circ}{2} \sin\frac{-28^\circ}{2} = -2 \sin 60^\circ \sin(-14^\circ) $.
Так как синус — нечетная функция, $ \sin(-14^\circ) = -\sin 14^\circ $. Значение $ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Подставляем значения в выражение:
$ -2 \sin 60^\circ (-\sin 14^\circ) = 2 \sin 60^\circ \sin 14^\circ = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin 14^\circ = \sqrt{3} \sin 14^\circ $.
Ответ: $ \sqrt{3} \sin 14^\circ $.

в) Для преобразования суммы косинусов в произведение используется формула: $ \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2} $.
Здесь $ \alpha = 20^\circ $ и $ \beta = 40^\circ $.
$ \cos 20^\circ + \cos 40^\circ = 2 \cos\frac{20^\circ+40^\circ}{2} \cos\frac{20^\circ-40^\circ}{2} = 2 \cos\frac{60^\circ}{2} \cos\frac{-20^\circ}{2} = 2 \cos 30^\circ \cos(-10^\circ) $.
Используя свойство четности косинуса $ \cos(-10^\circ) = \cos 10^\circ $ и значение $ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $, получаем:
$ 2 \cos 30^\circ \cos 10^\circ = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos 10^\circ = \sqrt{3} \cos 10^\circ $.
Ответ: $ \sqrt{3} \cos 10^\circ $.

г) Для преобразования разности косинусов в произведение используется формула: $ \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2} $.
В этом выражении $ \alpha = 75^\circ $ и $ \beta = 15^\circ $.
$ \cos 75^\circ - \cos 15^\circ = -2 \sin\frac{75^\circ+15^\circ}{2} \sin\frac{75^\circ-15^\circ}{2} = -2 \sin\frac{90^\circ}{2} \sin\frac{60^\circ}{2} = -2 \sin 45^\circ \sin 30^\circ $.
Мы знаем табличные значения синусов: $ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $.
Подставим эти значения в выражение:
$ -2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{2\sqrt{2}}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.
Ответ: $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $.