Номер 22.8, страница 72, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§22. Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 22.8, страница 72.

22.8 Проверьте равенство:

а) $\sin 35^{\circ} + \sin 25^{\circ} = \cos 5^{\circ}$;

б) $\sin 40^{\circ} + \cos 70^{\circ} = \cos 10^{\circ}$;

в) $\cos 12^{\circ} - \cos 48^{\circ} = \sin 18^{\circ}$;

г) $\cos 20^{\circ} - \sin 50^{\circ} = \sin 10^{\circ}$.

а) Для проверки равенства $\sin 35^\circ + \sin 25^\circ = \cos 5^\circ$ преобразуем его левую часть, используя формулу суммы синусов: $\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.
$\sin 35^\circ + \sin 25^\circ = 2 \sin\left(\frac{35^\circ+25^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{35^\circ-25^\circ}{2}\right) = 2 \sin\left(\frac{60^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{10^\circ}{2}\right) = 2 \sin 30^\circ \cos 5^\circ$.
Так как $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, то получаем:
$2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos 5^\circ = \cos 5^\circ$.
Мы получили, что левая часть равна правой ($\cos 5^\circ = \cos 5^\circ$), следовательно, равенство доказано.
Ответ: Равенство верно.

б) Для проверки равенства $\sin 40^\circ + \cos 70^\circ = \cos 10^\circ$ преобразуем его левую часть. Сначала воспользуемся формулой приведения $\cos \alpha = \sin(90^\circ - \alpha)$, чтобы привести выражение к сумме синусов.
$\cos 70^\circ = \sin(90^\circ - 70^\circ) = \sin 20^\circ$.
Теперь исходное выражение принимает вид: $\sin 40^\circ + \sin 20^\circ$.
Применим формулу суммы синусов: $\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.
$\sin 40^\circ + \sin 20^\circ = 2 \sin\left(\frac{40^\circ+20^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{40^\circ-20^\circ}{2}\right) = 2 \sin\left(\frac{60^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{20^\circ}{2}\right) = 2 \sin 30^\circ \cos 10^\circ$.
Поскольку $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, получаем: $2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos 10^\circ = \cos 10^\circ$.
Левая часть равна правой ($\cos 10^\circ = \cos 10^\circ$), следовательно, равенство доказано.
Ответ: Равенство верно.

в) Для проверки равенства $\cos 12^\circ - \cos 48^\circ = \sin 18^\circ$ преобразуем его левую часть, используя формулу разности косинусов: $\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2}$.
$\cos 12^\circ - \cos 48^\circ = -2 \sin\left(\frac{12^\circ+48^\circ}{2}\right) \sin\left(\frac{12^\circ-48^\circ}{2}\right) = -2 \sin\left(\frac{60^\circ}{2}\right) \sin\left(\frac{-36^\circ}{2}\right) = -2 \sin 30^\circ \sin(-18^\circ)$.
Используя свойство нечетности синуса $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$ и значение $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, получаем:
$-2 \cdot \frac{1}{2} \cdot (-\sin 18^\circ) = -1 \cdot (-\sin 18^\circ) = \sin 18^\circ$.
Левая часть равна правой ($\sin 18^\circ = \sin 18^\circ$), следовательно, равенство доказано.
Ответ: Равенство верно.

г) Для проверки равенства $\cos 20^\circ - \sin 50^\circ = \sin 10^\circ$ преобразуем его левую часть. Воспользуемся формулой приведения $\sin \alpha = \cos(90^\circ - \alpha)$, чтобы привести выражение к разности косинусов.
$\sin 50^\circ = \cos(90^\circ - 50^\circ) = \cos 40^\circ$.
Теперь исходное выражение принимает вид: $\cos 20^\circ - \cos 40^\circ$.
Применим формулу разности косинусов: $\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2}$.
$\cos 20^\circ - \cos 40^\circ = -2 \sin\left(\frac{20^\circ+40^\circ}{2}\right) \sin\left(\frac{20^\circ-40^\circ}{2}\right) = -2 \sin\left(\frac{60^\circ}{2}\right) \sin\left(\frac{-20^\circ}{2}\right) = -2 \sin 30^\circ \sin(-10^\circ)$.
Используя свойство нечетности синуса $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$ и значение $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, получаем:
$-2 \cdot \frac{1}{2} \cdot (-\sin 10^\circ) = -1 \cdot (-\sin 10^\circ) = \sin 10^\circ$.
Левая часть равна правой ($\sin 10^\circ = \sin 10^\circ$), следовательно, равенство доказано.
Ответ: Равенство верно.