Номер 22.13, страница 73, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. §22. Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения - номер 22.13, страница 73.

Условие.

Докажите, что верно равенство:

22.13 a) $ \sin 20^\circ + \sin 40^\circ - \cos 10^\circ = 0 $;

б) $ \cos 85^\circ + \cos 35^\circ - \cos 25^\circ = 0 $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

a)

Чтобы доказать равенство $sin 20° + sin 40° - cos 10° = 0$, мы преобразуем его левую часть, используя тригонометрические формулы.

Для начала сгруппируем первые два слагаемых $(sin 20° + sin 40°)$ и применим к ним формулу суммы синусов:

$sin \alpha + sin \beta = 2 sin(\frac{\alpha + \beta}{2}) cos(\frac{\alpha - \beta}{2})$

Подставим наши значения $\alpha = 40°$ и $\beta = 20°$:

$sin 40° + sin 20° = 2 sin(\frac{40° + 20°}{2}) cos(\frac{40° - 20°}{2}) = 2 sin(\frac{60°}{2}) cos(\frac{20°}{2}) = 2 sin 30° cos 10°$

Известно, что $sin 30° = \frac{1}{2}$. Подставим это табличное значение в полученное выражение:

$2 sin 30° cos 10° = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot cos 10° = 1 \cdot cos 10° = cos 10°$

Теперь вернемся к исходному выражению и заменим сумму синусов на полученный результат:

$(sin 20° + sin 40°) - cos 10° = cos 10° - cos 10° = 0$

Мы получили верное тождество $0 = 0$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $sin 20° + sin 40° - cos 10° = 0$ верно.

б)

Чтобы доказать равенство $cos 85° + cos 35° - cos 25° = 0$, мы также преобразуем его левую часть.

Сгруппируем первые два слагаемых $(cos 85° + cos 35°)$ и применим к ним формулу суммы косинусов:

$cos \alpha + cos \beta = 2 cos(\frac{\alpha + \beta}{2}) cos(\frac{\alpha - \beta}{2})$

Подставим наши значения $\alpha = 85°$ и $\beta = 35°$:

$cos 85° + cos 35° = 2 cos(\frac{85° + 35°}{2}) cos(\frac{85° - 35°}{2}) = 2 cos(\frac{120°}{2}) cos(\frac{50°}{2}) = 2 cos 60° cos 25°$

Известно, что $cos 60° = \frac{1}{2}$. Подставим это табличное значение в полученное выражение:

$2 cos 60° cos 25° = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot cos 25° = 1 \cdot cos 25° = cos 25°$

Теперь вернемся к исходному выражению и заменим сумму косинусов на полученный результат:

$(cos 85° + cos 35°) - cos 25° = cos 25° - cos 25° = 0$

Мы получили верное тождество $0 = 0$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $cos 85° + cos 35° - cos 25° = 0$ верно.