Номер 22.18, страница 73, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§22. Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 22.18, страница 73.

22.18 Вычислите $\frac{\sin \alpha + \sin 3\alpha + \sin 5\alpha + \sin 7\alpha}{\cos \alpha + \cos 3\alpha + \cos 5\alpha + \cos 7\alpha}$, если $ctg\, 4\alpha = 0,2$.

Для вычисления значения данного выражения необходимо упростить числитель и знаменатель дроби. Сделаем это, сгруппировав слагаемые и применив формулы суммы синусов и косинусов.

1. Упрощение числителя:

Сгруппируем слагаемые в числителе следующим образом: $(\sin \alpha + \sin 7\alpha) + (\sin 3\alpha + \sin 5\alpha)$.

Воспользуемся формулой суммы синусов: $\sin x + \sin y = 2 \sin\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2}$.

Для первой группы:

$\sin \alpha + \sin 7\alpha = 2 \sin\frac{\alpha+7\alpha}{2} \cos\frac{7\alpha-\alpha}{2} = 2 \sin 4\alpha \cos 3\alpha$

Для второй группы:

$\sin 3\alpha + \sin 5\alpha = 2 \sin\frac{3\alpha+5\alpha}{2} \cos\frac{5\alpha-3\alpha}{2} = 2 \sin 4\alpha \cos \alpha$

Сложив результаты, получим выражение для числителя:

$2 \sin 4\alpha \cos 3\alpha + 2 \sin 4\alpha \cos \alpha = 2 \sin 4\alpha (\cos 3\alpha + \cos \alpha)$

2. Упрощение знаменателя:

Аналогично сгруппируем слагаемые в знаменателе: $(\cos \alpha + \cos 7\alpha) + (\cos 3\alpha + \cos 5\alpha)$.

Воспользуемся формулой суммы косинусов: $\cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2}$.

Для первой группы:

$\cos \alpha + \cos 7\alpha = 2 \cos\frac{\alpha+7\alpha}{2} \cos\frac{7\alpha-\alpha}{2} = 2 \cos 4\alpha \cos 3\alpha$

Для второй группы:

$\cos 3\alpha + \cos 5\alpha = 2 \cos\frac{3\alpha+5\alpha}{2} \cos\frac{5\alpha-3\alpha}{2} = 2 \cos 4\alpha \cos \alpha$

Сложив результаты, получим выражение для знаменателя:

$2 \cos 4\alpha \cos 3\alpha + 2 \cos 4\alpha \cos \alpha = 2 \cos 4\alpha (\cos 3\alpha + \cos \alpha)$

3. Упрощение дроби и вычисление:

Подставим упрощенные выражения для числителя и знаменателя в исходную дробь:

$\frac{2 \sin 4\alpha (\cos 3\alpha + \cos \alpha)}{2 \cos 4\alpha (\cos 3\alpha + \cos \alpha)}$

Поскольку из условия $\ctg 4\alpha = 0,2$ следует, что $\cos 4\alpha \neq 0$ и $\sin 4\alpha \neq 0$, мы можем сократить дробь на общие множители $2$ и $(\cos 3\alpha + \cos \alpha)$, при условии, что последний не равен нулю (что предполагается, так как требуется вычислить значение выражения).

$\frac{\sin 4\alpha}{\cos 4\alpha} = \tan 4\alpha$

Мы знаем, что тангенс и котангенс одного и того же угла связаны соотношением $\tan x = \frac{1}{\ctg x}$.

Используя данное нам значение $\ctg 4\alpha = 0,2$, находим:

$\tan 4\alpha = \frac{1}{\ctg 4\alpha} = \frac{1}{0,2} = \frac{1}{1/5} = 5$

Таким образом, значение исходного выражения равно 5.

Ответ: 5