Номер 22.16, страница 73, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§22. Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 22.16, страница 73.

22.16 a) $\sin x + \sin y + \sin (x - y) = 4 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} \cos \frac{x - y}{2}$

б) $\frac{\sin x + \sin 2x + \sin 3x}{\cos x + \cos 2x + \cos 3x} = \text{tg } 2x.$

а)

Заметим, что в условии задачи, скорее всего, опечатка. Тождество в виде $ \sin x + \sin y + \sin (x - y) = 4 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} \cos \frac{x - y}{2} $ не является верным. Например, при $ x = \pi, y = \frac{\pi}{2} $:

Левая часть: $ \sin \pi + \sin \frac{\pi}{2} + \sin(\pi - \frac{\pi}{2}) = 0 + 1 + \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 + 1 = 2 $.
Правая часть: $ 4 \sin \frac{\pi}{2} \cos \frac{\pi}{2} \cos \frac{\pi - \pi/2}{2} = 4 \cdot 1 \cdot 0 \cdot \cos \frac{\pi}{4} = 0 $.
Так как $ 2 \neq 0 $, тождество неверно.

Вероятнее всего, правильное тождество выглядит так: $ \sin x + \sin y + \sin (x - y) = 4 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{y}{2} \cos \frac{x - y}{2} $. Докажем его.

Преобразуем левую часть (ЛЧ). Сначала сгруппируем первые два слагаемых и применим формулу суммы синусов $ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} $:

$ \sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} $

Затем преобразуем третье слагаемое $ \sin(x-y) $ по формуле синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha $, где $ \alpha = \frac{x-y}{2} $:

$ \sin(x-y) = 2 \sin \frac{x-y}{2} \cos \frac{x-y}{2} $

Таким образом, левая часть тождества принимает вид:

$ \text{ЛЧ} = \left( \sin x + \sin y \right) + \sin(x-y) = 2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} + 2 \sin \frac{x-y}{2} \cos \frac{x-y}{2} $

Вынесем общий множитель $ 2 \cos \frac{x-y}{2} $ за скобки:

$ \text{ЛЧ} = 2 \cos \frac{x-y}{2} \left( \sin \frac{x+y}{2} + \sin \frac{x-y}{2} \right) $

К выражению в скобках снова применим формулу суммы синусов:

$ \sin \frac{x+y}{2} + \sin \frac{x-y}{2} = 2 \sin \frac{\frac{x+y}{2} + \frac{x-y}{2}}{2} \cos \frac{\frac{x+y}{2} - \frac{x-y}{2}}{2} = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{y}{2} $

Подставим полученное выражение обратно в левую часть:

$ \text{ЛЧ} = 2 \cos \frac{x-y}{2} \left( 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{y}{2} \right) = 4 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{y}{2} \cos \frac{x-y}{2} $

Полученное выражение совпадает с исправленной правой частью. Тождество доказано.

Ответ: Тождество $ \sin x + \sin y + \sin (x - y) = 4 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{y}{2} \cos \frac{x - y}{2} $ доказано (исходное условие, вероятно, содержало опечатку).

б)

Докажем тождество: $ \frac{\sin x + \sin 2x + \sin 3x}{\cos x + \cos 2x + \cos 3x} = \tg 2x $.

Преобразуем числитель и знаменатель дроби в левой части. Сгруппируем первое и третье слагаемые и применим формулы суммы синусов и косинусов.

Числитель: $ \text{Ч} = (\sin 3x + \sin x) + \sin 2x $.
Используем формулу $ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} $:

$ \sin 3x + \sin x = 2 \sin \frac{3x+x}{2} \cos \frac{3x-x}{2} = 2 \sin 2x \cos x $

Тогда числитель равен:

$ \text{Ч} = 2 \sin 2x \cos x + \sin 2x = \sin 2x (2 \cos x + 1) $

Знаменатель: $ \text{З} = (\cos 3x + \cos x) + \cos 2x $.
Используем формулу $ \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} $:

$ \cos 3x + \cos x = 2 \cos \frac{3x+x}{2} \cos \frac{3x-x}{2} = 2 \cos 2x \cos x $

Тогда знаменатель равен:

$ \text{З} = 2 \cos 2x \cos x + \cos 2x = \cos 2x (2 \cos x + 1) $

Теперь подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходную дробь:

$ \frac{\text{Ч}}{\text{З}} = \frac{\sin 2x (2 \cos x + 1)}{\cos 2x (2 \cos x + 1)} $

При условии, что $ 2 \cos x + 1 \neq 0 $ и $ \cos 2x \neq 0 $, мы можем сократить общий множитель $ (2 \cos x + 1) $:

$ \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = \tg 2x $

Левая часть равна правой. Тождество доказано для области определения выражения.

Ответ: Тождество $ \frac{\sin x + \sin 2x + \sin 3x}{\cos x + \cos 2x + \cos 3x} = \tg 2x $ доказано.