Номер 22.10, страница 73, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§22. Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 22.10, страница 73.

Представьте в виде произведения:

22.10 а) $\frac{1}{2} - \cos t;$

б) $\frac{\sqrt{3}}{2} + \sin t;$

в) $1 + 2\cos t;$

г) $\cos t + \sin t.$

а) Чтобы представить выражение $\frac{1}{2} - \cos t$ в виде произведения, заменим число $\frac{1}{2}$ на его тригонометрический эквивалент. Мы знаем, что $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.
Подставим это значение в исходное выражение:
$\frac{1}{2} - \cos t = \cos(\frac{\pi}{3}) - \cos t$.
Теперь мы можем применить формулу разности косинусов: $\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2}$.
В нашем случае $\alpha = \frac{\pi}{3}$ и $\beta = t$.
$\cos(\frac{\pi}{3}) - \cos t = -2 \sin \frac{\frac{\pi}{3}+t}{2} \sin \frac{\frac{\pi}{3}-t}{2} = -2 \sin(\frac{\pi}{6} + \frac{t}{2}) \sin(\frac{\pi}{6} - \frac{t}{2})$.
Для более удобной записи можно воспользоваться свойством нечетности синуса $\sin(-x) = -\sin(x)$ для второго множителя: $\sin(\frac{\pi}{6} - \frac{t}{2}) = -\sin(-(\frac{\pi}{6} - \frac{t}{2})) = -\sin(\frac{t}{2} - \frac{\pi}{6})$.
Тогда выражение примет вид: $-2 \sin(\frac{\pi}{6} + \frac{t}{2}) \cdot [-\sin(\frac{t}{2} - \frac{\pi}{6})] = 2 \sin(\frac{\pi}{6} + \frac{t}{2}) \sin(\frac{t}{2} - \frac{\pi}{6})$.
Ответ: $2 \sin(\frac{\pi}{6} + \frac{t}{2}) \sin(\frac{t}{2} - \frac{\pi}{6})$.

б) Для выражения $\frac{\sqrt{3}}{2} + \sin t$ поступим аналогично. Заменим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ на $\sin(\frac{\pi}{3})$.
Выражение становится: $\sin(\frac{\pi}{3}) + \sin t$.
Используем формулу суммы синусов: $\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2}$.
Здесь $\alpha = \frac{\pi}{3}$ и $\beta = t$.
$\sin(\frac{\pi}{3}) + \sin t = 2 \sin \frac{\frac{\pi}{3}+t}{2} \cos \frac{\frac{\pi}{3}-t}{2} = 2 \sin(\frac{\pi}{6} + \frac{t}{2}) \cos(\frac{\pi}{6} - \frac{t}{2})$.
Ответ: $2 \sin(\frac{\pi}{6} + \frac{t}{2}) \cos(\frac{\pi}{6} - \frac{t}{2})$.

в) Рассмотрим выражение $1 + 2\cos t$. Сначала вынесем 2 за скобки:
$1 + 2\cos t = 2(\frac{1}{2} + \cos t)$.
Теперь заменим $\frac{1}{2}$ на $\cos(\frac{\pi}{3})$ внутри скобок:
$2(\cos(\frac{\pi}{3}) + \cos t)$.
Применим формулу суммы косинусов: $\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2}$.
Для выражения в скобках $\alpha = \frac{\pi}{3}$ и $\beta = t$.
$2(\cos(\frac{\pi}{3}) + \cos t) = 2 \cdot [2 \cos \frac{\frac{\pi}{3}+t}{2} \cos \frac{\frac{\pi}{3}-t}{2}] = 4 \cos(\frac{\pi}{6} + \frac{t}{2}) \cos(\frac{\pi}{6} - \frac{t}{2})$.
Ответ: $4 \cos(\frac{\pi}{6} + \frac{t}{2}) \cos(\frac{\pi}{6} - \frac{t}{2})$.

г) Для преобразования выражения $\cos t + \sin t$ используем метод введения вспомогательного угла.
Вынесем за скобки множитель $\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$:
$\cos t + \sin t = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos t + \frac{1}{\sqrt{2}}\sin t)$.
Мы знаем, что $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Заменим числа в скобках на эти значения:
$\sqrt{2}(\cos(\frac{\pi}{4})\cos t + \sin(\frac{\pi}{4})\sin t)$.
Выражение в скобках соответствует формуле косинуса разности: $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$.
В нашем случае $\alpha = t$ и $\beta = \frac{\pi}{4}$.
Таким образом, получаем: $\sqrt{2}\cos(t - \frac{\pi}{4})$.
(Альтернативный вариант: можно было представить выражение как $\sqrt{2}(\sin(\frac{\pi}{4})\cos t + \cos(\frac{\pi}{4})\sin t) = \sqrt{2}\sin(t + \frac{\pi}{4})$, что также является верным ответом).
Ответ: $\sqrt{2}\cos(t - \frac{\pi}{4})$.