Номер 22.6, страница 72, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§22. Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 22.6, страница 72.

22.6 a) $tg 25^{\circ} + tg 35^{\circ}$;

б) $tg \frac{\pi}{5} - tg \frac{\pi}{10}$;

В) $tg 20^{\circ} + tg 40$;

Г) $tg \frac{\pi}{3} - tg \frac{\pi}{4}$.

а) tg 25° + tg 35°

Для преобразования суммы тангенсов воспользуемся формулой суммы тангенсов, которая выводится из формулы синуса суммы углов: $ \text{tg}\,\alpha + \text{tg}\,\beta = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\sin\beta}{\cos\beta} = \frac{\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta} = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos\alpha \cos\beta} $.
В данном случае $ \alpha = 25^\circ $ и $ \beta = 35^\circ $.
Подставим значения в формулу:
$ \text{tg}\,25^\circ + \text{tg}\,35^\circ = \frac{\sin(25^\circ + 35^\circ)}{\cos 25^\circ \cos 35^\circ} = \frac{\sin 60^\circ}{\cos 25^\circ \cos 35^\circ} $.
Мы знаем, что $ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Следовательно, выражение можно записать как:
$ \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\cos 25^\circ \cos 35^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2\cos 25^\circ \cos 35^\circ} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{2\cos 25^\circ \cos 35^\circ} $.

б) $ \text{tg}\frac{\pi}{5} - \text{tg}\frac{\pi}{10} $

Для преобразования разности тангенсов воспользуемся формулой разности тангенсов, которая выводится из формулы синуса разности углов: $ \text{tg}\,\alpha - \text{tg}\,\beta = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - \frac{\sin\beta}{\cos\beta} = \frac{\sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta} = \frac{\sin(\alpha - \beta)}{\cos\alpha \cos\beta} $.
В данном случае $ \alpha = \frac{\pi}{5} $ и $ \beta = \frac{\pi}{10} $.
Разность углов $ \alpha - \beta = \frac{\pi}{5} - \frac{\pi}{10} = \frac{2\pi - \pi}{10} = \frac{\pi}{10} $.
Подставим значения в формулу:
$ \text{tg}\frac{\pi}{5} - \text{tg}\frac{\pi}{10} = \frac{\sin(\frac{\pi}{5} - \frac{\pi}{10})}{\cos\frac{\pi}{5}\cos\frac{\pi}{10}} = \frac{\sin\frac{\pi}{10}}{\cos\frac{\pi}{5}\cos\frac{\pi}{10}} $.
Это выражение можно упростить, выделив тангенс:
$ \frac{\sin\frac{\pi}{10}}{\cos\frac{\pi}{10} \cdot \cos\frac{\pi}{5}} = \text{tg}\frac{\pi}{10} \cdot \frac{1}{\cos\frac{\pi}{5}} = \frac{\text{tg}\frac{\pi}{10}}{\cos\frac{\pi}{5}} $.
Ответ: $ \frac{\text{tg}\frac{\pi}{10}}{\cos\frac{\pi}{5}} $.

в) tg 20° + tg 40°

Используем ту же формулу для суммы тангенсов, что и в пункте а): $ \text{tg}\,\alpha + \text{tg}\,\beta = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos\alpha \cos\beta} $.
Здесь $ \alpha = 20^\circ $ и $ \beta = 40^\circ $.
Подставляем значения:
$ \text{tg}\,20^\circ + \text{tg}\,40^\circ = \frac{\sin(20^\circ + 40^\circ)}{\cos 20^\circ \cos 40^\circ} = \frac{\sin 60^\circ}{\cos 20^\circ \cos 40^\circ} $.
Поскольку $ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $, получаем:
$ \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\cos 20^\circ \cos 40^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2\cos 20^\circ \cos 40^\circ} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{2\cos 20^\circ \cos 40^\circ} $.

г) $ \text{tg}\frac{\pi}{3} - \text{tg}\frac{\pi}{4} $

В данном случае нам нужно найти разность значений тангенсов для табличных углов.
Мы знаем, что $ \frac{\pi}{3} $ радиан соответствует $ 60^\circ $, а $ \frac{\pi}{4} $ радиан соответствует $ 45^\circ $.
Значения тангенсов для этих углов:
$ \text{tg}\frac{\pi}{3} = \text{tg}\,60^\circ = \sqrt{3} $.
$ \text{tg}\frac{\pi}{4} = \text{tg}\,45^\circ = 1 $.
Вычислим разность:
$ \text{tg}\frac{\pi}{3} - \text{tg}\frac{\pi}{4} = \sqrt{3} - 1 $.
Ответ: $ \sqrt{3} - 1 $.