Номер 22.11, страница 73, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§22. Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 22.11, страница 73.

22.11 a) $\sin 5x + 2\sin 6x + \sin 7x;$

б) $2\cos x + \cos 2x + \cos 4x.$

а)

Требуется преобразовать в произведение выражение $\sin 5x + 2\sin 6x + \sin 7x$.

Сгруппируем первое и третье слагаемые:

$(\sin 5x + \sin 7x) + 2\sin 6x$

Применим формулу суммы синусов: $\sin \alpha + \sin \beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.

Для суммы $\sin 5x + \sin 7x$ получаем:

$\sin 5x + \sin 7x = 2\sin\frac{5x+7x}{2}\cos\frac{7x-5x}{2} = 2\sin\frac{12x}{2}\cos\frac{2x}{2} = 2\sin 6x \cos x$

Теперь подставим это в исходное выражение:

$2\sin 6x \cos x + 2\sin 6x$

Вынесем общий множитель $2\sin 6x$ за скобки:

$2\sin 6x (\cos x + 1)$

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла в виде $1 + \cos \alpha = 2\cos^2\frac{\alpha}{2}$. В нашем случае $\alpha = x$:

$2\sin 6x \cdot (2\cos^2\frac{x}{2})$

Перемножив коэффициенты, получим окончательный вид:

$4\sin 6x \cos^2\frac{x}{2}$

Ответ: $4\sin 6x \cos^2\frac{x}{2}$

б)

Требуется преобразовать в произведение выражение $2\cos x + \cos 2x + \cos 4x$.

Сгруппируем второе и третье слагаемые:

$2\cos x + (\cos 2x + \cos 4x)$

Применим формулу суммы косинусов: $\cos \alpha + \cos \beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.

Для суммы $\cos 2x + \cos 4x$ получаем:

$\cos 2x + \cos 4x = 2\cos\frac{2x+4x}{2}\cos\frac{4x-2x}{2} = 2\cos\frac{6x}{2}\cos\frac{2x}{2} = 2\cos 3x \cos x$

Теперь подставим это в исходное выражение:

$2\cos x + 2\cos 3x \cos x$

Вынесем общий множитель $2\cos x$ за скобки:

$2\cos x (1 + \cos 3x)$

Воспользуемся формулой $1 + \cos \alpha = 2\cos^2\frac{\alpha}{2}$. В нашем случае $\alpha = 3x$:

$2\cos x \cdot (2\cos^2\frac{3x}{2})$

Перемножив коэффициенты, получим окончательный вид:

$4\cos x \cos^2\frac{3x}{2}$

Ответ: $4\cos x \cos^2\frac{3x}{2}$