Номер 22.12, страница 73, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§22. Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 22.12, страница 73.

22.12 a) $ \sin t + \sin 2t + \sin 3t + \sin 4t; $

б) $ \cos 2t - \cos 4t - \cos 6t + \cos 8t. $

а) Для того чтобы представить сумму в виде произведения, сгруппируем слагаемые: первое с четвертым и второе с третьим.
$ \sin t + \sin 2t + \sin 3t + \sin 4t = (\sin 4t + \sin t) + (\sin 3t + \sin 2t) $
Теперь применим формулу суммы синусов $ \sin x + \sin y = 2 \sin\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2} $ к каждой группе.
Для первой группы:
$ \sin 4t + \sin t = 2 \sin\frac{4t+t}{2} \cos\frac{4t-t}{2} = 2 \sin\frac{5t}{2} \cos\frac{3t}{2} $
Для второй группы:
$ \sin 3t + \sin 2t = 2 \sin\frac{3t+2t}{2} \cos\frac{3t-2t}{2} = 2 \sin\frac{5t}{2} \cos\frac{t}{2} $
Подставим полученные выражения обратно в сумму:
$ 2 \sin\frac{5t}{2} \cos\frac{3t}{2} + 2 \sin\frac{5t}{2} \cos\frac{t}{2} $
Вынесем общий множитель $ 2 \sin\frac{5t}{2} $ за скобки:
$ 2 \sin\frac{5t}{2} (\cos\frac{3t}{2} + \cos\frac{t}{2}) $
Теперь к выражению в скобках применим формулу суммы косинусов $ \cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2} $:
$ \cos\frac{3t}{2} + \cos\frac{t}{2} = 2 \cos\frac{\frac{3t}{2}+\frac{t}{2}}{2} \cos\frac{\frac{3t}{2}-\frac{t}{2}}{2} = 2 \cos\frac{2t}{2} \cos\frac{t}{2} = 2 \cos t \cos\frac{t}{2} $
Подставим результат в наше выражение:
$ 2 \sin\frac{5t}{2} \cdot (2 \cos t \cos\frac{t}{2}) = 4 \cos\frac{t}{2} \cos t \sin\frac{5t}{2} $
Ответ: $ 4 \cos\frac{t}{2} \cos t \sin\frac{5t}{2} $

б) Перегруппируем слагаемые для удобства применения формул:
$ \cos 2t - \cos 4t - \cos 6t + \cos 8t = (\cos 8t + \cos 2t) - (\cos 6t + \cos 4t) $
Применим формулу суммы косинусов $ \cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2} $ к каждой из скобок.
Для первой скобки:
$ \cos 8t + \cos 2t = 2 \cos\frac{8t+2t}{2} \cos\frac{8t-2t}{2} = 2 \cos 5t \cos 3t $
Для второй скобки:
$ \cos 6t + \cos 4t = 2 \cos\frac{6t+4t}{2} \cos\frac{6t-4t}{2} = 2 \cos 5t \cos t $
Подставим полученные произведения в исходное выражение:
$ 2 \cos 5t \cos 3t - 2 \cos 5t \cos t $
Вынесем общий множитель $ 2 \cos 5t $ за скобки:
$ 2 \cos 5t (\cos 3t - \cos t) $
К выражению в скобках применим формулу разности косинусов $ \cos x - \cos y = -2 \sin\frac{x+y}{2} \sin\frac{x-y}{2} $:
$ \cos 3t - \cos t = -2 \sin\frac{3t+t}{2} \sin\frac{3t-t}{2} = -2 \sin 2t \sin t $
Подставим полученный результат в итоговое выражение:
$ 2 \cos 5t \cdot (-2 \sin 2t \sin t) = -4 \sin t \sin 2t \cos 5t $
Ответ: $ -4 \sin t \sin 2t \cos 5t $