Номер 22.9, страница 73, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§22. Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 22.9, страница 73.

22.9 Докажите тождество:

a) $\frac{\sin 2\alpha + \sin 6\alpha}{\cos 2\alpha + \cos 6\alpha} = \operatorname{tg} 4\alpha;$

б) $\frac{\cos 2\alpha - \cos 4\alpha}{\cos 2\alpha + \cos 4\alpha} = \operatorname{tg} 3\alpha \operatorname{tg} \alpha.$

а) Для доказательства тождества $ \frac{\sin 2\alpha + \sin 6\alpha}{\cos 2\alpha + \cos 6\alpha} = \operatorname{tg} 4\alpha $ преобразуем его левую часть.
Воспользуемся формулами суммы синусов и суммы косинусов:
$ \sin x + \sin y = 2 \sin\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2} $
$ \cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2} $
Применим эти формулы к числителю и знаменателю дроби. Для удобства вычислений поменяем слагаемые местами (что не изменит сумму).
Числитель: $ \sin 6\alpha + \sin 2\alpha = 2 \sin\frac{6\alpha+2\alpha}{2} \cos\frac{6\alpha-2\alpha}{2} = 2 \sin 4\alpha \cos 2\alpha $.
Знаменатель: $ \cos 6\alpha + \cos 2\alpha = 2 \cos\frac{6\alpha+2\alpha}{2} \cos\frac{6\alpha-2\alpha}{2} = 2 \cos 4\alpha \cos 2\alpha $.
Теперь подставим полученные выражения обратно в дробь:
$ \frac{\sin 2\alpha + \sin 6\alpha}{\cos 2\alpha + \cos 6\alpha} = \frac{2 \sin 4\alpha \cos 2\alpha}{2 \cos 4\alpha \cos 2\alpha} $.
Сокращаем общий множитель $ 2 \cos 2\alpha $:
$ \frac{\sin 4\alpha}{\cos 4\alpha} $.
По определению тангенса, $ \operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} $, следовательно:
$ \frac{\sin 4\alpha}{\cos 4\alpha} = \operatorname{tg} 4\alpha $.
Мы преобразовали левую часть тождества к правой, что и требовалось доказать.
Ответ: Тождество доказано.

б) Для доказательства тождества $ \frac{\cos 2\alpha - \cos 4\alpha}{\cos 2\alpha + \cos 4\alpha} = \operatorname{tg} 3\alpha \operatorname{tg} \alpha $ преобразуем его левую часть.
Воспользуемся формулами разности и суммы косинусов:
$ \cos x - \cos y = -2 \sin\frac{x+y}{2} \sin\frac{x-y}{2} $
$ \cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2} $
Применим эти формулы к числителю и знаменателю дроби.
Числитель: $ \cos 2\alpha - \cos 4\alpha = -2 \sin\frac{2\alpha+4\alpha}{2} \sin\frac{2\alpha-4\alpha}{2} = -2 \sin 3\alpha \sin(-\alpha) $.
Так как синус — нечетная функция ($ \sin(-x) = -\sin x $), выражение упрощается:
$ -2 \sin 3\alpha (-\sin\alpha) = 2 \sin 3\alpha \sin\alpha $.
Знаменатель: $ \cos 2\alpha + \cos 4\alpha = 2 \cos\frac{2\alpha+4\alpha}{2} \cos\frac{2\alpha-4\alpha}{2} = 2 \cos 3\alpha \cos(-\alpha) $.
Так как косинус — четная функция ($ \cos(-x) = \cos x $), выражение упрощается:
$ 2 \cos 3\alpha \cos\alpha $.
Теперь подставим полученные выражения обратно в дробь:
$ \frac{\cos 2\alpha - \cos 4\alpha}{\cos 2\alpha + \cos 4\alpha} = \frac{2 \sin 3\alpha \sin\alpha}{2 \cos 3\alpha \cos\alpha} $.
Сокращаем на 2 и перегруппировываем множители:
$ \frac{\sin 3\alpha}{\cos 3\alpha} \cdot \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $.
По определению тангенса, $ \operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} $, следовательно:
$ \frac{\sin 3\alpha}{\cos 3\alpha} \cdot \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \operatorname{tg} 3\alpha \operatorname{tg} \alpha $.
Мы преобразовали левую часть тождества к правой, что и требовалось доказать.
Ответ: Тождество доказано.