Номер 22.4, страница 72, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. §22. Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения - номер 22.4, страница 72.

Условие.

22.4 a) $\cos \frac{\pi}{10} - \cos \frac{\pi}{20};$

б) $\cos \frac{11\pi}{12} + \cos \frac{3\pi}{4};$

в) $\cos \frac{\pi}{5} - \cos \frac{\pi}{11};$

г) $\cos \frac{3\pi}{8} + \cos \frac{5\pi}{4}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а) Для преобразования разности косинусов в произведение воспользуемся формулой: $cos \alpha - cos \beta = -2 \sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$.

В нашем случае $\alpha = \frac{\pi}{10}$ и $\beta = \frac{\pi}{20}$.

Вычислим полусумму и полуразность углов:

$\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{10} + \frac{\pi}{20}}{2} = \frac{\frac{2\pi + \pi}{20}}{2} = \frac{3\pi}{40}$.

$\frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{10} - \frac{\pi}{20}}{2} = \frac{\frac{2\pi - \pi}{20}}{2} = \frac{\pi}{40}$.

Подставим найденные значения в формулу:

$cos\frac{\pi}{10} - cos\frac{\pi}{20} = -2 \sin\left(\frac{3\pi}{40}\right) \sin\left(\frac{\pi}{40}\right)$.

Ответ: $-2 \sin\left(\frac{3\pi}{40}\right) \sin\left(\frac{\pi}{40}\right)$.

б) Для преобразования суммы косинусов в произведение воспользуемся формулой: $cos \alpha + cos \beta = 2 \cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$.

В данном случае $\alpha = \frac{11\pi}{12}$ и $\beta = \frac{3\pi}{4}$.

Вычислим полусумму и полуразность углов:

$\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\frac{11\pi}{12} + \frac{3\pi}{4}}{2} = \frac{\frac{11\pi + 9\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{20\pi}{12}}{2} = \frac{20\pi}{24} = \frac{5\pi}{6}$.

$\frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{\frac{11\pi}{12} - \frac{3\pi}{4}}{2} = \frac{\frac{11\pi - 9\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{2\pi}{12}}{2} = \frac{2\pi}{24} = \frac{\pi}{12}$.

Подставим найденные значения в формулу:

$cos\frac{11\pi}{12} + cos\frac{3\pi}{4} = 2 \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) \cos\left(\frac{\pi}{12}\right)$.

Так как $cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, то можем упростить выражение:

$2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{12}\right) = -\sqrt{3} \cos\left(\frac{\pi}{12}\right)$.

Ответ: $-\sqrt{3} \cos\left(\frac{\pi}{12}\right)$.

в) Используем формулу разности косинусов: $cos \alpha - cos \beta = -2 \sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$.

Здесь $\alpha = \frac{\pi}{5}$ и $\beta = \frac{\pi}{11}$.

Найдем полусумму и полуразность углов:

$\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{5} + \frac{\pi}{11}}{2} = \frac{\frac{11\pi + 5\pi}{55}}{2} = \frac{16\pi}{110} = \frac{8\pi}{55}$.

$\frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{5} - \frac{\pi}{11}}{2} = \frac{\frac{11\pi - 5\pi}{55}}{2} = \frac{6\pi}{110} = \frac{3\pi}{55}$.

Подставляем в формулу:

$cos\frac{\pi}{5} - cos\frac{\pi}{11} = -2 \sin\left(\frac{8\pi}{55}\right) \sin\left(\frac{3\pi}{55}\right)$.

Ответ: $-2 \sin\left(\frac{8\pi}{55}\right) \sin\left(\frac{3\pi}{55}\right)$.

г) Для преобразования суммы косинусов используем формулу: $cos \alpha + cos \beta = 2 \cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$.

Заметим, что $cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) = cos\left(\frac{5\pi}{4} - 2\pi\right) = cos\left(-\frac{3\pi}{4}\right)$. Поскольку косинус — четная функция, $cos\left(-\frac{3\pi}{4}\right) = cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)$.

Таким образом, исходное выражение можно переписать как: $cos\frac{3\pi}{8} + cos\frac{3\pi}{4}$.

Теперь применим формулу суммы косинусов, где $\alpha = \frac{3\pi}{8}$ и $\beta = \frac{3\pi}{4}$.

Вычислим полусумму и полуразность углов:

$\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\frac{3\pi}{8} + \frac{3\pi}{4}}{2} = \frac{\frac{3\pi + 6\pi}{8}}{2} = \frac{9\pi}{16}$.

$\frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{\frac{3\pi}{8} - \frac{3\pi}{4}}{2} = \frac{\frac{3\pi - 6\pi}{8}}{2} = \frac{-3\pi}{16}$.

Подставляем в формулу:

$cos\frac{3\pi}{8} + cos\frac{5\pi}{4} = 2 \cos\left(\frac{9\pi}{16}\right) \cos\left(-\frac{3\pi}{16}\right)$.

Учитывая четность косинуса, $cos\left(-\frac{3\pi}{16}\right) = cos\left(\frac{3\pi}{16}\right)$, получаем:

$2 \cos\left(\frac{9\pi}{16}\right) \cos\left(\frac{3\pi}{16}\right)$.

Ответ: $2 \cos\left(\frac{9\pi}{16}\right) \cos\left(\frac{3\pi}{16}\right)$.