Номер 22.4, страница 72, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов


Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.
Тип: Задачник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый
Часть: 2
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
§22. Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 22.4, страница 72.
№22.4 (с. 72)
Условие. №22.4 (с. 72)
скриншот условия

22.4 a) $\cos \frac{\pi}{10} - \cos \frac{\pi}{20};$
б) $\cos \frac{11\pi}{12} + \cos \frac{3\pi}{4};$
в) $\cos \frac{\pi}{5} - \cos \frac{\pi}{11};$
г) $\cos \frac{3\pi}{8} + \cos \frac{5\pi}{4}.$
Решение 1. №22.4 (с. 72)

Решение 2. №22.4 (с. 72)

Решение 3. №22.4 (с. 72)

Решение 5. №22.4 (с. 72)


Решение 6. №22.4 (с. 72)
а) Для преобразования разности косинусов в произведение воспользуемся формулой: $cos \alpha - cos \beta = -2 \sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$.
В нашем случае $\alpha = \frac{\pi}{10}$ и $\beta = \frac{\pi}{20}$.
Вычислим полусумму и полуразность углов:
$\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{10} + \frac{\pi}{20}}{2} = \frac{\frac{2\pi + \pi}{20}}{2} = \frac{3\pi}{40}$.
$\frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{10} - \frac{\pi}{20}}{2} = \frac{\frac{2\pi - \pi}{20}}{2} = \frac{\pi}{40}$.
Подставим найденные значения в формулу:
$cos\frac{\pi}{10} - cos\frac{\pi}{20} = -2 \sin\left(\frac{3\pi}{40}\right) \sin\left(\frac{\pi}{40}\right)$.
Ответ: $-2 \sin\left(\frac{3\pi}{40}\right) \sin\left(\frac{\pi}{40}\right)$.
б) Для преобразования суммы косинусов в произведение воспользуемся формулой: $cos \alpha + cos \beta = 2 \cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$.
В данном случае $\alpha = \frac{11\pi}{12}$ и $\beta = \frac{3\pi}{4}$.
Вычислим полусумму и полуразность углов:
$\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\frac{11\pi}{12} + \frac{3\pi}{4}}{2} = \frac{\frac{11\pi + 9\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{20\pi}{12}}{2} = \frac{20\pi}{24} = \frac{5\pi}{6}$.
$\frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{\frac{11\pi}{12} - \frac{3\pi}{4}}{2} = \frac{\frac{11\pi - 9\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{2\pi}{12}}{2} = \frac{2\pi}{24} = \frac{\pi}{12}$.
Подставим найденные значения в формулу:
$cos\frac{11\pi}{12} + cos\frac{3\pi}{4} = 2 \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) \cos\left(\frac{\pi}{12}\right)$.
Так как $cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, то можем упростить выражение:
$2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{12}\right) = -\sqrt{3} \cos\left(\frac{\pi}{12}\right)$.
Ответ: $-\sqrt{3} \cos\left(\frac{\pi}{12}\right)$.
в) Используем формулу разности косинусов: $cos \alpha - cos \beta = -2 \sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$.
Здесь $\alpha = \frac{\pi}{5}$ и $\beta = \frac{\pi}{11}$.
Найдем полусумму и полуразность углов:
$\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{5} + \frac{\pi}{11}}{2} = \frac{\frac{11\pi + 5\pi}{55}}{2} = \frac{16\pi}{110} = \frac{8\pi}{55}$.
$\frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{5} - \frac{\pi}{11}}{2} = \frac{\frac{11\pi - 5\pi}{55}}{2} = \frac{6\pi}{110} = \frac{3\pi}{55}$.
Подставляем в формулу:
$cos\frac{\pi}{5} - cos\frac{\pi}{11} = -2 \sin\left(\frac{8\pi}{55}\right) \sin\left(\frac{3\pi}{55}\right)$.
Ответ: $-2 \sin\left(\frac{8\pi}{55}\right) \sin\left(\frac{3\pi}{55}\right)$.
г) Для преобразования суммы косинусов используем формулу: $cos \alpha + cos \beta = 2 \cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$.
Заметим, что $cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) = cos\left(\frac{5\pi}{4} - 2\pi\right) = cos\left(-\frac{3\pi}{4}\right)$. Поскольку косинус — четная функция, $cos\left(-\frac{3\pi}{4}\right) = cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)$.
Таким образом, исходное выражение можно переписать как: $cos\frac{3\pi}{8} + cos\frac{3\pi}{4}$.
Теперь применим формулу суммы косинусов, где $\alpha = \frac{3\pi}{8}$ и $\beta = \frac{3\pi}{4}$.
Вычислим полусумму и полуразность углов:
$\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\frac{3\pi}{8} + \frac{3\pi}{4}}{2} = \frac{\frac{3\pi + 6\pi}{8}}{2} = \frac{9\pi}{16}$.
$\frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{\frac{3\pi}{8} - \frac{3\pi}{4}}{2} = \frac{\frac{3\pi - 6\pi}{8}}{2} = \frac{-3\pi}{16}$.
Подставляем в формулу:
$cos\frac{3\pi}{8} + cos\frac{5\pi}{4} = 2 \cos\left(\frac{9\pi}{16}\right) \cos\left(-\frac{3\pi}{16}\right)$.
Учитывая четность косинуса, $cos\left(-\frac{3\pi}{16}\right) = cos\left(\frac{3\pi}{16}\right)$, получаем:
$2 \cos\left(\frac{9\pi}{16}\right) \cos\left(\frac{3\pi}{16}\right)$.
Ответ: $2 \cos\left(\frac{9\pi}{16}\right) \cos\left(\frac{3\pi}{16}\right)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 22.4 расположенного на странице 72 для 2-й части к задачнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №22.4 (с. 72), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), 2-й части ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.