Номер 22.1, страница 72, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§22. Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 22.1, страница 72.

Представьте в виде произведения:

22.1 a) $\sin 40^\circ + \sin 16^\circ$;

б) $\sin 20^\circ - \sin 40^\circ$;

в) $\sin 10^\circ + \sin 50^\circ$;

г) $\sin 52^\circ - \sin 36^\circ$.

Для решения этой задачи используются формулы преобразования суммы и разности синусов в произведение (формулы преобразования суммы в произведение):

Сумма синусов: $ \sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $

Разность синусов: $ \sin\alpha - \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2} $

а) $ \sin40^\circ + \sin16^\circ $

Применяем формулу суммы синусов, где $ \alpha = 40^\circ $, а $ \beta = 16^\circ $:

$ \sin40^\circ + \sin16^\circ = 2\sin\frac{40^\circ+16^\circ}{2}\cos\frac{40^\circ-16^\circ}{2} = 2\sin\frac{56^\circ}{2}\cos\frac{24^\circ}{2} = 2\sin28^\circ\cos12^\circ $.

Ответ: $ 2\sin28^\circ\cos12^\circ $.

б) $ \sin20^\circ - \sin40^\circ $

Применяем формулу разности синусов, где $ \alpha = 20^\circ $, а $ \beta = 40^\circ $:

$ \sin20^\circ - \sin40^\circ = 2\sin\frac{20^\circ-40^\circ}{2}\cos\frac{20^\circ+40^\circ}{2} = 2\sin\frac{-20^\circ}{2}\cos\frac{60^\circ}{2} = 2\sin(-10^\circ)\cos30^\circ $.

Так как синус — нечетная функция ($ \sin(-x) = -\sin(x) $), а значение косинуса $ \cos30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $, то можем упростить выражение:

$ 2\sin(-10^\circ)\cos30^\circ = -2\sin10^\circ\cos30^\circ = -2\sin10^\circ \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{3}\sin10^\circ $.

Ответ: $ -\sqrt{3}\sin10^\circ $.

в) $ \sin10^\circ + \sin50^\circ $

Применяем формулу суммы синусов, где $ \alpha = 10^\circ $, а $ \beta = 50^\circ $:

$ \sin10^\circ + \sin50^\circ = 2\sin\frac{10^\circ+50^\circ}{2}\cos\frac{10^\circ-50^\circ}{2} = 2\sin\frac{60^\circ}{2}\cos\frac{-40^\circ}{2} = 2\sin30^\circ\cos(-20^\circ) $.

Так как косинус — четная функция ($ \cos(-x) = \cos(x) $), а значение синуса $ \sin30^\circ = \frac{1}{2} $, то можем упростить выражение:

$ 2\sin30^\circ\cos(-20^\circ) = 2\sin30^\circ\cos20^\circ = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos20^\circ = \cos20^\circ $.

Ответ: $ \cos20^\circ $.

г) $ \sin52^\circ - \sin36^\circ $

Применяем формулу разности синусов, где $ \alpha = 52^\circ $, а $ \beta = 36^\circ $:

$ \sin52^\circ - \sin36^\circ = 2\sin\frac{52^\circ-36^\circ}{2}\cos\frac{52^\circ+36^\circ}{2} = 2\sin\frac{16^\circ}{2}\cos\frac{88^\circ}{2} = 2\sin8^\circ\cos44^\circ $.

Ответ: $ 2\sin8^\circ\cos44^\circ $.