Номер 22.3, страница 72, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. §22. Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения - номер 22.3, страница 72.

Условие.

22.3 a) $sin(\frac{\pi}{5}) - sin(\frac{\pi}{10});$

б) $sin(\frac{\pi}{3}) + sin(\frac{\pi}{4});$

в) $sin(\frac{\pi}{6}) + sin(\frac{\pi}{7});$

г) $sin(\frac{\pi}{3}) - sin(\frac{\pi}{11}).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а) Для преобразования разности синусов $\sin \frac{\pi}{5} - \sin \frac{\pi}{10}$ в произведение воспользуемся формулой разности синусов:
$\sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \cos \frac{\alpha + \beta}{2}$
В данном выражении $\alpha = \frac{\pi}{5}$ и $\beta = \frac{\pi}{10}$.
Вычислим полуразность и полусумму аргументов:
$\frac{\alpha - \beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{5} - \frac{\pi}{10}}{2} = \frac{\frac{2\pi - \pi}{10}}{2} = \frac{\pi / 10}{2} = \frac{\pi}{20}$
$\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{5} + \frac{\pi}{10}}{2} = \frac{\frac{2\pi + \pi}{10}}{2} = \frac{3\pi / 10}{2} = \frac{3\pi}{20}$
Подставим найденные значения в формулу:
$\sin \frac{\pi}{5} - \sin \frac{\pi}{10} = 2 \sin \frac{\pi}{20} \cos \frac{3\pi}{20}$
Ответ: $2 \sin \frac{\pi}{20} \cos \frac{3\pi}{20}$

б) Для преобразования суммы синусов $\sin \frac{\pi}{3} + \sin \frac{\pi}{4}$ в произведение воспользуемся формулой суммы синусов:
$\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$
В данном выражении $\alpha = \frac{\pi}{3}$ и $\beta = \frac{\pi}{4}$.
Вычислим полусумму и полуразность аргументов:
$\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}}{2} = \frac{\frac{4\pi + 3\pi}{12}}{2} = \frac{7\pi / 12}{2} = \frac{7\pi}{24}$
$\frac{\alpha - \beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}}{2} = \frac{\frac{4\pi - 3\pi}{12}}{2} = \frac{\pi / 12}{2} = \frac{\pi}{24}$
Подставим найденные значения в формулу:
$\sin \frac{\pi}{3} + \sin \frac{\pi}{4} = 2 \sin \frac{7\pi}{24} \cos \frac{\pi}{24}$
Ответ: $2 \sin \frac{7\pi}{24} \cos \frac{\pi}{24}$

в) Для преобразования суммы синусов $\sin \frac{\pi}{6} + \sin \frac{\pi}{7}$ в произведение воспользуемся формулой суммы синусов:
$\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$
В данном выражении $\alpha = \frac{\pi}{6}$ и $\beta = \frac{\pi}{7}$.
Вычислим полусумму и полуразность аргументов:
$\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{7}}{2} = \frac{\frac{7\pi + 6\pi}{42}}{2} = \frac{13\pi / 42}{2} = \frac{13\pi}{84}$
$\frac{\alpha - \beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{7}}{2} = \frac{\frac{7\pi - 6\pi}{42}}{2} = \frac{\pi / 42}{2} = \frac{\pi}{84}$
Подставим найденные значения в формулу:
$\sin \frac{\pi}{6} + \sin \frac{\pi}{7} = 2 \sin \frac{13\pi}{84} \cos \frac{\pi}{84}$
Ответ: $2 \sin \frac{13\pi}{84} \cos \frac{\pi}{84}$

г) Для преобразования разности синусов $\sin \frac{\pi}{3} - \sin \frac{\pi}{11}$ в произведение воспользуемся формулой разности синусов:
$\sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \cos \frac{\alpha + \beta}{2}$
В данном выражении $\alpha = \frac{\pi}{3}$ и $\beta = \frac{\pi}{11}$.
Вычислим полуразность и полусумму аргументов:
$\frac{\alpha - \beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{11}}{2} = \frac{\frac{11\pi - 3\pi}{33}}{2} = \frac{8\pi / 33}{2} = \frac{4\pi}{33}$
$\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{11}}{2} = \frac{\frac{11\pi + 3\pi}{33}}{2} = \frac{14\pi / 33}{2} = \frac{7\pi}{33}$
Подставим найденные значения в формулу:
$\sin \frac{\pi}{3} - \sin \frac{\pi}{11} = 2 \sin \frac{4\pi}{33} \cos \frac{7\pi}{33}$
Ответ: $2 \sin \frac{4\pi}{33} \cos \frac{7\pi}{33}$