Номер 21.47, страница 71, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§21. Формулы двойного аргумента и формулы понижения степени. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 21.47, страница 71.

21.47 Найдите корни уравнения, удовлетворяющие неравенству $|x| < 4:

a) $4 \sin^2 x + \sin^2 2x = 3;$

б) $4 \cos^2 2x + 8 \cos^2 x = 7.$

a) $4 \sin^2 x + \sin^2 2x = 3$

Для решения данного уравнения воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$.

Подставим ее в уравнение:

$4 \sin^2 x + (2 \sin x \cos x)^2 = 3$

$4 \sin^2 x + 4 \sin^2 x \cos^2 x = 3$

Теперь используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$:

$4 \sin^2 x + 4 \sin^2 x (1 - \sin^2 x) = 3$

Произведем замену переменной. Пусть $y = \sin^2 x$, где $0 \le y \le 1$.

$4y + 4y(1 - y) = 3$

$4y + 4y - 4y^2 = 3$

$4y^2 - 8y + 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 64 - 48 = 16$.

Корни уравнения: $y_1 = \frac{8 - \sqrt{16}}{2 \cdot 4} = \frac{8 - 4}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ и $y_2 = \frac{8 + \sqrt{16}}{2 \cdot 4} = \frac{8 + 4}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$.

Вернемся к замене. Корень $y_2 = \frac{3}{2}$ не удовлетворяет условию $0 \le y \le 1$, так как $\sin^2 x$ не может быть больше 1. Следовательно, он является посторонним.

Рассмотрим корень $y_1 = \frac{1}{2}$:

$\sin^2 x = \frac{1}{2}$

$\sin x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Решениями этого уравнения являются серии корней $x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь найдем корни, удовлетворяющие неравенству $|x| < 4$, то есть $-4 < x < 4$.

$-4 < \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} < 4$

Разделим все части неравенства на $\pi$ (приблизительно 3.14):

$-\frac{4}{\pi} < \frac{1}{4} + \frac{k}{2} < \frac{4}{\pi}$

$-1.27 \lesssim \frac{1}{4} + \frac{k}{2} \lesssim 1.27$

$-1.27 - 0.25 < 0.5k < 1.27 - 0.25$

$-1.52 < 0.5k < 1.02$

$-3.04 < k < 2.04$

Поскольку $k$ — целое число, возможные значения для $k$: -3, -2, -1, 0, 1, 2.

Найдем соответствующие значения $x$:

При $k=-3$: $x = \frac{\pi}{4} - \frac{3\pi}{2} = -\frac{5\pi}{4}$.

При $k=-2$: $x = \frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{3\pi}{4}$.

При $k=-1$: $x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{4}$.

При $k=0$: $x = \frac{\pi}{4}$.

При $k=1$: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{4}$.

При $k=2$: $x = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}$.

Все эти значения удовлетворяют условию $|x|<4$, так как $|\pm\frac{5\pi}{4}| \approx 3.93 < 4$.

Ответ: $-\frac{5\pi}{4}, -\frac{3\pi}{4}, -\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$.

б) $4 \cos^2 2x + 8 \cos^2 x = 7$

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой понижения степени для косинуса: $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$.

Подставим это выражение в уравнение:

$4 \cos^2 2x + 8 \left( \frac{1 + \cos 2x}{2} \right) = 7$

$4 \cos^2 2x + 4(1 + \cos 2x) = 7$

$4 \cos^2 2x + 4 + 4 \cos 2x = 7$

$4 \cos^2 2x + 4 \cos 2x - 3 = 0$

Произведем замену переменной. Пусть $z = \cos 2x$, где $-1 \le z \le 1$.

$4z^2 + 4z - 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $z$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64$.

Корни уравнения: $z_1 = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{-4 - 8}{8} = -\frac{12}{8} = -\frac{3}{2}$ и $z_2 = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{-4 + 8}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

Вернемся к замене. Корень $z_1 = -\frac{3}{2}$ не удовлетворяет условию $-1 \le z \le 1$, так как косинус не может быть меньше -1. Следовательно, он является посторонним.

Рассмотрим корень $z_2 = \frac{1}{2}$:

$\cos 2x = \frac{1}{2}$

Решениями этого уравнения являются серии корней:

$2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x = \pm \frac{\pi}{6} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь найдем корни, удовлетворяющие неравенству $|x| < 4$, то есть $-4 < x < 4$.

Рассмотрим первую серию корней: $x = \frac{\pi}{6} + k\pi$.

$-4 < \frac{\pi}{6} + k\pi < 4$

$-\frac{4}{\pi} < \frac{1}{6} + k < \frac{4}{\pi}$

$-1.27 \lesssim 0.17 + k \lesssim 1.27$

$-1.44 \lesssim k \lesssim 1.1$

Целые значения $k$: -1, 0, 1. Корни: $x_1 = \frac{\pi}{6} - \pi = -\frac{5\pi}{6}$, $x_2 = \frac{\pi}{6}$, $x_3 = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6}$.

Рассмотрим вторую серию корней: $x = -\frac{\pi}{6} + k\pi$.

$-4 < -\frac{\pi}{6} + k\pi < 4$

$-\frac{4}{\pi} < -\frac{1}{6} + k < \frac{4}{\pi}$

$-1.27 \lesssim -0.17 + k \lesssim 1.27$

$-1.1 \lesssim k \lesssim 1.44$

Целые значения $k$: -1, 0, 1. Корни: $x_4 = -\frac{\pi}{6} - \pi = -\frac{7\pi}{6}$, $x_5 = -\frac{\pi}{6}$, $x_6 = -\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi}{6}$.

Все найденные значения удовлетворяют условию $|x|<4$, так как $|\pm\frac{7\pi}{6}| \approx 3.67 < 4$.

Ответ: $-\frac{7\pi}{6}, -\frac{5\pi}{6}, -\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}$.