Номер 21.41, страница 70, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§21. Формулы двойного аргумента и формулы понижения степени. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 21.41, страница 70.

21.41 Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y=f(x)$,

если:

a) $f(x) = 2 \cos 2x + \sin^2 x$;

б) $f(x) = 2 \sin^2 3x - \cos 6x$.

а)

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = 2\cos{2x} + \sin^2{x}$ преобразуем ее, используя тригонометрическое тождество, чтобы выразить функцию через одну переменную. Применим формулу понижения степени $\sin^2{x} = \frac{1 - \cos{2x}}{2}$. Подставляя ее в функцию, получаем:
$f(x) = 2\cos{2x} + \frac{1 - \cos{2x}}{2} = 2\cos{2x} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos{2x} = \frac{3}{2}\cos{2x} + \frac{1}{2}$.

Область значений функции косинуса — это отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \cos{2x} \le 1$. Поскольку выражение $\frac{3}{2}\cos{2x} + \frac{1}{2}$ является линейной функцией от $\cos{2x}$ с положительным коэффициентом, ее наибольшее и наименьшее значения достигаются на концах отрезка $[-1, 1]$.
Наибольшее значение функции достигается при $\cos{2x} = 1$:
$y_{наиб} = \frac{3}{2}(1) + \frac{1}{2} = \frac{3+1}{2} = 2$.
Наименьшее значение функции достигается при $\cos{2x} = -1$:
$y_{наим} = \frac{3}{2}(-1) + \frac{1}{2} = \frac{-3+1}{2} = -1$.

Ответ: наибольшее значение функции равно 2, наименьшее значение функции равно -1.

б)

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = 2\sin^2{3x} - \cos{6x}$ воспользуемся формулой косинуса двойного угла $\cos{6x} = \cos(2 \cdot 3x) = 1 - 2\sin^2{3x}$. Это позволит выразить функцию через одну переменную. Подставляя, получаем:
$f(x) = 2\sin^2{3x} - (1 - 2\sin^2{3x}) = 2\sin^2{3x} - 1 + 2\sin^2{3x} = 4\sin^2{3x} - 1$.

Область значений $\sin^2{3x}$ — это отрезок $[0, 1]$, так как $-1 \le \sin{3x} \le 1$. Выражение $4\sin^2{3x} - 1$ является линейной функцией от $\sin^2{3x}$ с положительным коэффициентом, поэтому ее наибольшее и наименьшее значения достигаются на концах отрезка $[0, 1]$.
Наибольшее значение функции достигается при $\sin^2{3x} = 1$:
$y_{наиб} = 4(1) - 1 = 3$.
Наименьшее значение функции достигается при $\sin^2{3x} = 0$:
$y_{наим} = 4(0) - 1 = -1$.

Ответ: наибольшее значение функции равно 3, наименьшее значение функции равно -1.