Номер 21.37, страница 70, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§21. Формулы двойного аргумента и формулы понижения степени. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 21.37, страница 70.

21.37 Известно, что $cos 2x = \frac{5}{13}$. Вычислите:

a) $\sin^4 x + \cos^4 x;$

б) $\sin^8 x - \cos^8 x.$

a) Для вычисления значения выражения $\sin^4 x + \cos^4 x$ преобразуем его, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.

Возведем обе части этого тождества в квадрат:
$(\sin^2 x + \cos^2 x)^2 = 1^2$
$\sin^4 x + 2\sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x = 1$
Отсюда выразим искомую сумму:
$\sin^4 x + \cos^4 x = 1 - 2\sin^2 x \cos^2 x$

Теперь преобразуем член $2\sin^2 x \cos^2 x$. Используя формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$, получим:
$2\sin^2 x \cos^2 x = \frac{1}{2} (4\sin^2 x \cos^2 x) = \frac{1}{2} (2 \sin x \cos x)^2 = \frac{1}{2} \sin^2 2x$
Таким образом, наше выражение принимает вид:
$\sin^4 x + \cos^4 x = 1 - \frac{1}{2} \sin^2 2x$

По условию известно, что $\cos 2x = \frac{5}{13}$. Найдем $\sin^2 2x$ из основного тригонометрического тождества для угла $2x$: $\sin^2 2x + \cos^2 2x = 1$.
$\sin^2 2x = 1 - \cos^2 2x = 1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169}$

Подставим найденное значение $\sin^2 2x$ в выражение для $\sin^4 x + \cos^4 x$:
$\sin^4 x + \cos^4 x = 1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{144}{169} = 1 - \frac{72}{169} = \frac{169 - 72}{169} = \frac{97}{169}$

Ответ: $\frac{97}{169}$

б) Для вычисления значения выражения $\sin^8 x - \cos^8 x$ воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ несколько раз.

$\sin^8 x - \cos^8 x = (\sin^4 x)^2 - (\cos^4 x)^2 = (\sin^4 x - \cos^4 x)(\sin^4 x + \cos^4 x)$

Значение второго множителя $(\sin^4 x + \cos^4 x)$ мы уже нашли в пункте а):
$\sin^4 x + \cos^4 x = \frac{97}{169}$

Теперь найдем значение первого множителя $(\sin^4 x - \cos^4 x)$, снова применив формулу разности квадратов:
$\sin^4 x - \cos^4 x = (\sin^2 x)^2 - (\cos^2 x)^2 = (\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x)$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$, получаем:
$\sin^2 x - \cos^2 x = -(\cos^2 x - \sin^2 x) = -\cos 2x$
Следовательно:
$\sin^4 x - \cos^4 x = (-\cos 2x) \cdot 1 = -\cos 2x$
Подставим данное в условии значение $\cos 2x = \frac{5}{13}$:
$\sin^4 x - \cos^4 x = -\frac{5}{13}$

Теперь можем вычислить исходное выражение, перемножив найденные значения множителей:
$\sin^8 x - \cos^8 x = (\sin^4 x - \cos^4 x)(\sin^4 x + \cos^4 x) = \left(-\frac{5}{13}\right) \cdot \left(\frac{97}{169}\right)$
$\sin^8 x - \cos^8 x = -\frac{5 \cdot 97}{13 \cdot 169} = -\frac{485}{2197}$

Ответ: $-\frac{485}{2197}$