Номер 21.38, страница 70, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§21. Формулы двойного аргумента и формулы понижения степени. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 21.38, страница 70.

21.38 Проверьте числовое равенство:

a) $\sin 18^\circ \cos 18^\circ \cos 36^\circ = \frac{1}{4} \sin 72^\circ;$

б) $\sin 18^\circ \cos 36^\circ = \frac{1}{4}.$

а)

Требуется проверить равенство $\sin 18^\circ \cos 18^\circ \cos 36^\circ = \frac{1}{4} \sin 72^\circ$.

Преобразуем левую часть равенства. Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2 \sin\alpha \cos\alpha$, из которой следует, что $\sin\alpha \cos\alpha = \frac{1}{2} \sin(2\alpha)$.

Применим эту формулу для $\alpha = 18^\circ$ к произведению $\sin 18^\circ \cos 18^\circ$:

$\sin 18^\circ \cos 18^\circ = \frac{1}{2} \sin(2 \cdot 18^\circ) = \frac{1}{2} \sin 36^\circ$.

Теперь подставим это выражение обратно в левую часть исходного равенства:

$\sin 18^\circ \cos 18^\circ \cos 36^\circ = (\frac{1}{2} \sin 36^\circ) \cos 36^\circ = \frac{1}{2} \sin 36^\circ \cos 36^\circ$.

Снова применим формулу $\sin\alpha \cos\alpha = \frac{1}{2} \sin(2\alpha)$, на этот раз для $\alpha = 36^\circ$:

$\frac{1}{2} (\sin 36^\circ \cos 36^\circ) = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2} \sin(2 \cdot 36^\circ)\right) = \frac{1}{4} \sin 72^\circ$.

Мы получили, что левая часть равенства равна $\frac{1}{4} \sin 72^\circ$, что совпадает с правой частью.

Ответ: Равенство верно.

б)

Требуется проверить равенство $\sin 18^\circ \cos 36^\circ = \frac{1}{4}$.

Преобразуем левую часть. Умножим и разделим выражение на $2 \cos 18^\circ$ (это возможно, так как $\cos 18^\circ \neq 0$):

$\sin 18^\circ \cos 36^\circ = \frac{2 \sin 18^\circ \cos 18^\circ \cos 36^\circ}{2 \cos 18^\circ}$.

В числителе используем формулу синуса двойного угла $2 \sin\alpha \cos\alpha = \sin(2\alpha)$ для $\alpha = 18^\circ$:

$2 \sin 18^\circ \cos 18^\circ = \sin(2 \cdot 18^\circ) = \sin 36^\circ$.

Подставим это в наше выражение:

$\frac{\sin 36^\circ \cos 36^\circ}{2 \cos 18^\circ}$.

Снова применим формулу синуса двойного угла к числителю. Для этого умножим и разделим дробь на 2:

$\frac{2 \sin 36^\circ \cos 36^\circ}{2 \cdot 2 \cos 18^\circ} = \frac{\sin(2 \cdot 36^\circ)}{4 \cos 18^\circ} = \frac{\sin 72^\circ}{4 \cos 18^\circ}$.

Теперь воспользуемся формулой приведения: $\sin 72^\circ = \sin(90^\circ - 18^\circ) = \cos 18^\circ$.

Подставим это в последнее выражение:

$\frac{\cos 18^\circ}{4 \cos 18^\circ} = \frac{1}{4}$.

Мы получили, что левая часть равенства равна $\frac{1}{4}$, что совпадает с правой частью.

Ответ: Равенство верно.