Номер 21.40, страница 70, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. §21. Формулы двойного аргумента и формулы понижения степени - номер 21.40, страница 70.

Условие.

21.40 Представив $3x$ в виде $x + 2x$, докажите тождество:

a) $\sin 3x = 3 \sin x - 4 \sin^3 x;$

б) $\cos 3x = 4 \cos^3 x - 3 \cos x.$

Решение 2.

Решение 5.

Решение 6.

а) Для доказательства тождества $\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x$ представим $3x$ в виде суммы $x + 2x$ и воспользуемся формулой синуса суммы:
$\sin(3x) = \sin(x + 2x) = \sin x \cos 2x + \cos x \sin 2x$.
Теперь применим формулы двойного угла. Чтобы итоговое выражение зависело только от $\sin x$, используем $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ и $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$.
Подставляем эти формулы в наше выражение:
$\sin x (1 - 2\sin^2 x) + \cos x (2\sin x \cos x) = \sin x - 2\sin^3 x + 2\sin x \cos^2 x$.
Чтобы избавиться от $\cos^2 x$, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$:
$\sin x - 2\sin^3 x + 2\sin x (1 - \sin^2 x) = \sin x - 2\sin^3 x + 2\sin x - 2\sin^3 x$.
Приводим подобные слагаемые:
$(\sin x + 2\sin x) + (-2\sin^3 x - 2\sin^3 x) = 3\sin x - 4\sin^3 x$.
Таким образом, мы преобразовали левую часть тождества к правой: $\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x$.
Ответ: Тождество доказано.

б) Для доказательства тождества $\cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x$ также представим $3x$ как $x + 2x$ и воспользуемся формулой косинуса суммы:
$\cos(3x) = \cos(x + 2x) = \cos x \cos 2x - \sin x \sin 2x$.
Применим формулы двойного угла. Чтобы итоговое выражение зависело только от $\cos x$, используем $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ и $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$.
Подставляем формулы в выражение:
$\cos x (2\cos^2 x - 1) - \sin x (2\sin x \cos x) = 2\cos^3 x - \cos x - 2\sin^2 x \cos x$.
Используем основное тригонометрическое тождество для замены $\sin^2 x$ на $1 - \cos^2 x$:
$2\cos^3 x - \cos x - 2(1 - \cos^2 x)\cos x = 2\cos^3 x - \cos x - (2\cos x - 2\cos^3 x)$.
Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:
$2\cos^3 x - \cos x - 2\cos x + 2\cos^3 x = (2\cos^3 x + 2\cos^3 x) + (-\cos x - 2\cos x) = 4\cos^3 x - 3\cos x$.
Левая часть тождества преобразована к правой: $\cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x$.
Ответ: Тождество доказано.