gdz.top
Номер 21.40, страница 70, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов
Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.
Тип: Задачник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый
Часть: 2
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
§21. Формулы двойного аргумента и формулы понижения степени. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 21.40, страница 70.
№21.39
№21.40 (с. 70)
Условие. №21.40 (с. 70)
скриншот условия
21.40 Представив $3x$ в виде $x + 2x$, докажите тождество:
a) $\sin 3x = 3 \sin x - 4 \sin^3 x;$
б) $\cos 3x = 4 \cos^3 x - 3 \cos x.$
Решение 2. №21.40 (с. 70)
Решение 5. №21.40 (с. 70)
Решение 6. №21.40 (с. 70)
а) Для доказательства тождества $\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x$ представим $3x$ в виде суммы $x + 2x$ и воспользуемся формулой синуса суммы:
$\sin(3x) = \sin(x + 2x) = \sin x \cos 2x + \cos x \sin 2x$.
Теперь применим формулы двойного угла. Чтобы итоговое выражение зависело только от $\sin x$, используем $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ и $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$.
Подставляем эти формулы в наше выражение:
$\sin x (1 - 2\sin^2 x) + \cos x (2\sin x \cos x) = \sin x - 2\sin^3 x + 2\sin x \cos^2 x$.
Чтобы избавиться от $\cos^2 x$, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$:
$\sin x - 2\sin^3 x + 2\sin x (1 - \sin^2 x) = \sin x - 2\sin^3 x + 2\sin x - 2\sin^3 x$.
Приводим подобные слагаемые:
$(\sin x + 2\sin x) + (-2\sin^3 x - 2\sin^3 x) = 3\sin x - 4\sin^3 x$.
Таким образом, мы преобразовали левую часть тождества к правой: $\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x$.
Ответ: Тождество доказано.
б) Для доказательства тождества $\cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x$ также представим $3x$ как $x + 2x$ и воспользуемся формулой косинуса суммы:
$\cos(3x) = \cos(x + 2x) = \cos x \cos 2x - \sin x \sin 2x$.
Применим формулы двойного угла. Чтобы итоговое выражение зависело только от $\cos x$, используем $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ и $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$.
Подставляем формулы в выражение:
$\cos x (2\cos^2 x - 1) - \sin x (2\sin x \cos x) = 2\cos^3 x - \cos x - 2\sin^2 x \cos x$.
Используем основное тригонометрическое тождество для замены $\sin^2 x$ на $1 - \cos^2 x$:
$2\cos^3 x - \cos x - 2(1 - \cos^2 x)\cos x = 2\cos^3 x - \cos x - (2\cos x - 2\cos^3 x)$.
Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:
$2\cos^3 x - \cos x - 2\cos x + 2\cos^3 x = (2\cos^3 x + 2\cos^3 x) + (-\cos x - 2\cos x) = 4\cos^3 x - 3\cos x$.
Левая часть тождества преобразована к правой: $\cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x$.
Ответ: Тождество доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 21.40 расположенного на странице 70 для 2-й части к задачнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №21.40 (с. 70), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), 2-й части ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.