Номер 21.33, страница 69, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§21. Формулы двойного аргумента и формулы понижения степени. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 21.33, страница 69.

Докажите тождество:

21.33 а) $ \frac{1 - \cos 2t + \sin 2t}{1 + \sin 2t + \cos 2t} = \text{tg } t; $

б) $ \frac{1 + \cos 2t - \sin 2t}{1 + \sin 2t + \cos 2t} = \text{tg}\left(\frac{\pi}{4} - t\right). $

а)

Докажем тождество: $ \frac{1 - \cos 2t + \sin 2t}{1 + \sin 2t + \cos 2t} = \text{tg } t $.
Преобразуем левую часть тождества. Для этого воспользуемся формулами двойного угла:

• $ \sin 2t = 2 \sin t \cos t $
• $ \cos 2t = \cos^2 t - \sin^2 t $

А также формулами, которые являются следствиями формулы косинуса двойного угла:

• $ 1 - \cos 2t = 2 \sin^2 t $
• $ 1 + \cos 2t = 2 \cos^2 t $

Подставим эти выражения в числитель и знаменатель дроби, сгруппировав слагаемые:

Числитель: $ (1 - \cos 2t) + \sin 2t = 2 \sin^2 t + 2 \sin t \cos t $.

Знаменатель: $ (1 + \cos 2t) + \sin 2t = 2 \cos^2 t + 2 \sin t \cos t $.

Тогда левая часть тождества принимает вид:

$ \frac{2 \sin^2 t + 2 \sin t \cos t}{2 \cos^2 t + 2 \sin t \cos t} $

Вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе:

$ \frac{2 \sin t (\sin t + \cos t)}{2 \cos t (\cos t + \sin t)} $

Сократим дробь на общий множитель $ 2(\sin t + \cos t) $, при условии, что он не равен нулю (то есть, на области определения выражения):

$ \frac{\sin t}{\cos t} = \text{tg } t $

Мы получили, что левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б)

Докажем тождество: $ \frac{1 + \cos 2t - \sin 2t}{1 + \sin 2t + \cos 2t} = \text{tg}(\frac{\pi}{4} - t) $.
Преобразуем левую часть тождества, используя те же формулы двойного угла, что и в пункте а).

Знаменатель дроби такой же, как в пункте а), и его преобразование дает:

$ 1 + \sin 2t + \cos 2t = (1 + \cos 2t) + \sin 2t = 2 \cos^2 t + 2 \sin t \cos t = 2 \cos t (\cos t + \sin t) $.

Преобразуем числитель:

$ 1 + \cos 2t - \sin 2t = (1 + \cos 2t) - \sin 2t = 2 \cos^2 t - 2 \sin t \cos t = 2 \cos t (\cos t - \sin t) $.

Подставим преобразованные числитель и знаменатель в левую часть тождества:

$ \frac{2 \cos t (\cos t - \sin t)}{2 \cos t (\cos t + \sin t)} $

Сократим дробь на общий множитель $ 2 \cos t $ (при условии $ \cos t \neq 0 $):

$ \frac{\cos t - \sin t}{\cos t + \sin t} $

Чтобы привести это выражение к тангенсу, разделим числитель и знаменатель на $ \cos t $:

$ \frac{\frac{\cos t}{\cos t} - \frac{\sin t}{\cos t}}{\frac{\cos t}{\cos t} + \frac{\sin t}{\cos t}} = \frac{1 - \text{tg } t}{1 + \text{tg } t} $

Теперь преобразуем правую часть тождества, используя формулу тангенса разности: $ \text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\text{tg } \alpha - \text{tg } \beta}{1 + \text{tg } \alpha \text{tg } \beta} $.

$ \text{tg}(\frac{\pi}{4} - t) = \frac{\text{tg}(\frac{\pi}{4}) - \text{tg } t}{1 + \text{tg}(\frac{\pi}{4}) \cdot \text{tg } t} $

Поскольку $ \text{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1 $, получаем:

$ \frac{1 - \text{tg } t}{1 + 1 \cdot \text{tg } t} = \frac{1 - \text{tg } t}{1 + \text{tg } t} $

Мы получили, что левая и правая части тождества равны одному и тому же выражению $ \frac{1 - \text{tg } t}{1 + \text{tg } t} $. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.