Номер 21.36, страница 69, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§21. Формулы двойного аргумента и формулы понижения степени. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 21.36, страница 69.

21.36 Упростите выражение $\sqrt{1 - \cos 2t} + \sqrt{1 + \cos 2t}$, если:

а) $t \in [\frac{\pi}{2}; \pi];$

б) $t \in [\frac{3\pi}{2}; 2\pi];$

в) $t \in [0; \frac{\pi}{2}];$

г) $t \in [\pi; \frac{3\pi}{2}].$

Для упрощения данного выражения воспользуемся тригонометрическими формулами понижения степени (которые являются следствиями формул двойного угла для косинуса):

$1 - \cos 2t = 2 \sin^2 t$

$1 + \cos 2t = 2 \cos^2 t$

Подставим эти тождества в исходное выражение:

$\sqrt{1 - \cos 2t} + \sqrt{1 + \cos 2t} = \sqrt{2 \sin^2 t} + \sqrt{2 \cos^2 t}$

Используя свойство корня $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем:

$\sqrt{2} \sqrt{\sin^2 t} + \sqrt{2} \sqrt{\cos^2 t} = \sqrt{2} |\sin t| + \sqrt{2} |\cos t| = \sqrt{2} (|\sin t| + |\cos t|)$

Теперь необходимо раскрыть модули для каждого из заданных промежутков, определив знаки синуса и косинуса в соответствующей координатной четверти.

а) если $t \in [\frac{\pi}{2}; \pi]$ (вторая четверть)

В этом промежутке $\sin t \ge 0$ и $\cos t \le 0$.

Следовательно, $|\sin t| = \sin t$ и $|\cos t| = -\cos t$.

Выражение принимает вид:

$\sqrt{2} (\sin t + (-\cos t)) = \sqrt{2}(\sin t - \cos t)$

Ответ: $\sqrt{2}(\sin t - \cos t)$

б) если $t \in [\frac{3\pi}{2}; 2\pi]$ (четвертая четверть)

В этом промежутке $\sin t \le 0$ и $\cos t \ge 0$.

Следовательно, $|\sin t| = -\sin t$ и $|\cos t| = \cos t$.

Выражение принимает вид:

$\sqrt{2} (-\sin t + \cos t) = \sqrt{2}(\cos t - \sin t)$

Ответ: $\sqrt{2}(\cos t - \sin t)$

в) если $t \in [0; \frac{\pi}{2}]$ (первая четверть)

В этом промежутке $\sin t \ge 0$ и $\cos t \ge 0$.

Следовательно, $|\sin t| = \sin t$ и $|\cos t| = \cos t$.

Выражение принимает вид:

$\sqrt{2} (\sin t + \cos t)$

Ответ: $\sqrt{2}(\sin t + \cos t)$

г) если $t \in [\pi; \frac{3\pi}{2}]$ (третья четверть)

В этом промежутке $\sin t \le 0$ и $\cos t \le 0$.

Следовательно, $|\sin t| = -\sin t$ и $|\cos t| = -\cos t$.

Выражение принимает вид:

$\sqrt{2} (-\sin t - \cos t) = -\sqrt{2}(\sin t + \cos t)$

Ответ: $-\sqrt{2}(\sin t + \cos t)$