Номер 21.39, страница 70, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§21. Формулы двойного аргумента и формулы понижения степени. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 21.39, страница 70.

21.39 Вычислите:

а) $\cos \frac{\pi}{33} \cos \frac{2\pi}{33} \cos \frac{4\pi}{33} \cos \frac{8\pi}{33} \cos \frac{16\pi}{33}$

б) $\cos \frac{\pi}{7} \cos \frac{4\pi}{7} \cos \frac{5\pi}{7}$

а)

Обозначим данное выражение через $P$:

$P = \cos\frac{\pi}{33} \cos\frac{2\pi}{33} \cos\frac{4\pi}{33} \cos\frac{8\pi}{33} \cos\frac{16\pi}{33}$

Заметим, что аргументы косинусов образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 2. Для решения подобных задач удобно использовать формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, из которой следует, что $\cos\alpha = \frac{\sin(2\alpha)}{2\sin\alpha}$.

Умножим и разделим выражение $P$ на $2^5 \sin\frac{\pi}{33} = 32\sin\frac{\pi}{33}$. Заметим, что $\sin\frac{\pi}{33} \ne 0$.

$P = \frac{1}{32\sin\frac{\pi}{33}} \left( 32\sin\frac{\pi}{33} \cos\frac{\pi}{33} \cos\frac{2\pi}{33} \cos\frac{4\pi}{33} \cos\frac{8\pi}{33} \cos\frac{16\pi}{33} \right)$

Теперь последовательно применяем формулу синуса двойного угла:

$2\sin\frac{\pi}{33}\cos\frac{\pi}{33} = \sin\frac{2\pi}{33}$

$P = \frac{1}{32\sin\frac{\pi}{33}} \left( 16 \cdot \left(2\sin\frac{\pi}{33}\cos\frac{\pi}{33}\right) \cos\frac{2\pi}{33} \cos\frac{4\pi}{33} \cos\frac{8\pi}{33} \cos\frac{16\pi}{33} \right)$

$P = \frac{1}{32\sin\frac{\pi}{33}} \left( 16 \sin\frac{2\pi}{33} \cos\frac{2\pi}{33} \cos\frac{4\pi}{33} \cos\frac{8\pi}{33} \cos\frac{16\pi}{33} \right)$

Снова применяем формулу:

$2\sin\frac{2\pi}{33}\cos\frac{2\pi}{33} = \sin\frac{4\pi}{33}$

$P = \frac{1}{32\sin\frac{\pi}{33}} \left( 8 \sin\frac{4\pi}{33} \cos\frac{4\pi}{33} \cos\frac{8\pi}{33} \cos\frac{16\pi}{33} \right)$

И так далее:

$P = \frac{1}{32\sin\frac{\pi}{33}} \left( 4 \sin\frac{8\pi}{33} \cos\frac{8\pi}{33} \cos\frac{16\pi}{33} \right)$

$P = \frac{1}{32\sin\frac{\pi}{33}} \left( 2 \sin\frac{16\pi}{33} \cos\frac{16\pi}{33} \right)$

$P = \frac{1}{32\sin\frac{\pi}{33}} \left( \sin\frac{32\pi}{33} \right)$

Теперь упростим получившееся выражение. Используем формулу приведения $\sin(\pi - x) = \sin x$:

$\sin\frac{32\pi}{33} = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{33}\right) = \sin\frac{\pi}{33}$

Подставим это в наше выражение для $P$:

$P = \frac{\sin\frac{\pi}{33}}{32\sin\frac{\pi}{33}}$

Сокращая на $\sin\frac{\pi}{33}$, получаем:

$P = \frac{1}{32}$

Ответ: $\frac{1}{32}$

б)

Обозначим данное выражение через $Q$:

$Q = \cos\frac{\pi}{7} \cos\frac{4\pi}{7} \cos\frac{5\pi}{7}$

Воспользуемся формулами приведения, в частности $\cos(\pi - x) = -\cos x$, чтобы упростить аргументы косинусов.

$\cos\frac{4\pi}{7} = \cos\left(\pi - \frac{3\pi}{7}\right) = -\cos\frac{3\pi}{7}$

$\cos\frac{5\pi}{7} = \cos\left(\pi - \frac{2\pi}{7}\right) = -\cos\frac{2\pi}{7}$

Подставим эти выражения в $Q$:

$Q = \cos\frac{\pi}{7} \cdot \left(-\cos\frac{3\pi}{7}\right) \cdot \left(-\cos\frac{2\pi}{7}\right) = \cos\frac{\pi}{7} \cos\frac{2\pi}{7} \cos\frac{3\pi}{7}$

Теперь вычислим значение полученного произведения. Обозначим его $R = \cos\frac{\pi}{7} \cos\frac{2\pi}{7} \cos\frac{3\pi}{7}$.

Умножим обе части на $8\sin\frac{\pi}{7}$ (так как $\sin\frac{\pi}{7} \ne 0$):

$8\sin\frac{\pi}{7} \cdot R = 8\sin\frac{\pi}{7} \cos\frac{\pi}{7} \cos\frac{2\pi}{7} \cos\frac{3\pi}{7}$

Применим формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$:

$8\sin\frac{\pi}{7} \cdot R = 4 \cdot \left(2\sin\frac{\pi}{7}\cos\frac{\pi}{7}\right) \cos\frac{2\pi}{7} \cos\frac{3\pi}{7} = 4\sin\frac{2\pi}{7} \cos\frac{2\pi}{7} \cos\frac{3\pi}{7}$

Ещё раз применим ту же формулу:

$8\sin\frac{\pi}{7} \cdot R = 2 \cdot \left(2\sin\frac{2\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7}\right) \cos\frac{3\pi}{7} = 2\sin\frac{4\pi}{7} \cos\frac{3\pi}{7}$

Теперь используем формулу преобразования произведения в сумму: $2\sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$.

Пусть $A = \frac{4\pi}{7}$ и $B = \frac{3\pi}{7}$.

$2\sin\frac{4\pi}{7} \cos\frac{3\pi}{7} = \sin\left(\frac{4\pi}{7} + \frac{3\pi}{7}\right) + \sin\left(\frac{4\pi}{7} - \frac{3\pi}{7}\right) = \sin\left(\frac{7\pi}{7}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{7}\right)$

$ = \sin(\pi) + \sin\frac{\pi}{7} = 0 + \sin\frac{\pi}{7} = \sin\frac{\pi}{7}$

Таким образом, мы получили равенство:

$8\sin\frac{\pi}{7} \cdot R = \sin\frac{\pi}{7}$

Разделив обе части на $\sin\frac{\pi}{7}$ (что возможно, так как $\sin\frac{\pi}{7} \ne 0$), находим $R$:

$8R = 1 \implies R = \frac{1}{8}$

Поскольку $Q=R$, то $Q=\frac{1}{8}$.

Ответ: $\frac{1}{8}$