Номер 21.46, страница 71, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§21. Формулы двойного аргумента и формулы понижения степени. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 21.46, страница 71.

21.46 Сколько корней имеет уравнение:

a) $( \cos x - \sin x )^2 = 1 - 2 \sin 2x$ на отрезке $[\frac{20\pi}{9}; \frac{28\pi}{9}];$

б) $2 \cos^2 \left( 2x - \frac{\pi}{4} \right) - 2 \sin^2 \left( \frac{\pi}{4} - 2x \right) + 1 = 0$ на отрезке $[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]?$

a)

Преобразуем левую часть уравнения $(\cos x - \sin x)^2 = 1 - 2\sin 2x$, используя формулу квадрата разности:

$(\cos x - \sin x)^2 = \cos^2 x - 2\sin x \cos x + \sin^2 x$.

Применим основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ и формулу синуса двойного угла $2\sin x \cos x = \sin 2x$. Левая часть примет вид:

$(\cos^2 x + \sin^2 x) - 2\sin x \cos x = 1 - \sin 2x$.

Подставим это в исходное уравнение:

$1 - \sin 2x = 1 - 2\sin 2x$.

Перенеся слагаемые, получим:

$2\sin 2x - \sin 2x = 1 - 1$,

$\sin 2x = 0$.

Общее решение этого уравнения имеет вид $2x = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Отсюда $x = \frac{k\pi}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь найдем, какие из этих корней принадлежат отрезку $[\frac{20\pi}{9}, \frac{28\pi}{9}]$. Для этого решим двойное неравенство:

$\frac{20\pi}{9} \le \frac{k\pi}{2} \le \frac{28\pi}{9}$.

Разделим все части на $\pi$ и умножим на 2:

$\frac{40}{9} \le k \le \frac{56}{9}$.

Переведем дроби в смешанные числа:

$4\frac{4}{9} \le k \le 6\frac{2}{9}$.

Этому неравенству удовлетворяют целые значения $k=5$ и $k=6$.

Найдем соответствующие корни:

при $k=5$: $x = \frac{5\pi}{2}$,

при $k=6$: $x = \frac{6\pi}{2} = 3\pi$.

Оба корня принадлежат заданному отрезку. Следовательно, на данном отрезке уравнение имеет два корня.

Ответ: 2

б)

Рассмотрим уравнение $2\cos^2(2x - \frac{\pi}{4}) - 2\sin^2(\frac{\pi}{4} - 2x) + 1 = 0$.

Воспользуемся тем, что функция синус нечетная, а ее квадрат — четная функция: $\sin^2(-A) = (-\sin A)^2 = \sin^2 A$. Поскольку $\frac{\pi}{4} - 2x = -(2x - \frac{\pi}{4})$, то $\sin^2(\frac{\pi}{4} - 2x) = \sin^2(2x - \frac{\pi}{4})$.

Уравнение принимает вид:

$2\cos^2(2x - \frac{\pi}{4}) - 2\sin^2(2x - \frac{\pi}{4}) + 1 = 0$.

Вынесем 2 за скобки и применим формулу косинуса двойного угла $\cos(2A) = \cos^2 A - \sin^2 A$, где $A = 2x - \frac{\pi}{4}$:

$2(\cos^2(2x - \frac{\pi}{4}) - \sin^2(2x - \frac{\pi}{4})) + 1 = 0$,

$2\cos(2(2x - \frac{\pi}{4})) + 1 = 0$,

$2\cos(4x - \frac{\pi}{2}) + 1 = 0$.

По формуле приведения $\cos(B - \frac{\pi}{2}) = \sin B$, где $B=4x$, получаем:

$2\sin(4x) + 1 = 0$,

$\sin(4x) = -\frac{1}{2}$.

Решения этого уравнения задаются двумя сериями:

$4x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{\pi}{24} + \frac{k\pi}{2}$,

$4x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \quad \Rightarrow \quad x = \frac{7\pi}{24} + \frac{k\pi}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Отберем корни, принадлежащие отрезку $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$. Приведем границы отрезка к общему знаменателю 24: $[\frac{12\pi}{24}, \frac{36\pi}{24}]$.

Для первой серии $x = -\frac{\pi}{24} + \frac{k\pi}{2} = \frac{(12k-1)\pi}{24}$ решим неравенство:

$\frac{12\pi}{24} \le \frac{(12k-1)\pi}{24} \le \frac{36\pi}{24}$,

$12 \le 12k - 1 \le 36 \quad \Rightarrow \quad 13 \le 12k \le 37 \quad \Rightarrow \quad 1\frac{1}{12} \le k \le 3\frac{1}{12}$.

Отсюда подходят целые $k=2, 3$. Корни: $x_1 = \frac{23\pi}{24}$, $x_2 = \frac{35\pi}{24}$.

Для второй серии $x = \frac{7\pi}{24} + \frac{k\pi}{2} = \frac{(12k+7)\pi}{24}$ решим неравенство:

$\frac{12\pi}{24} \le \frac{(12k+7)\pi}{24} \le \frac{36\pi}{24}$,

$12 \le 12k + 7 \le 36 \quad \Rightarrow \quad 5 \le 12k \le 29 \quad \Rightarrow \quad \frac{5}{12} \le k \le 2\frac{5}{12}$.

Отсюда подходят целые $k=1, 2$. Корни: $x_3 = \frac{19\pi}{24}$, $x_4 = \frac{31\pi}{24}$.

Всего на заданном отрезке уравнение имеет четыре различных корня.

Ответ: 4