Номер 21.49, страница 71, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§21. Формулы двойного аргумента и формулы понижения степени. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 21.49, страница 71.

21.49 Используя замену $u = \operatorname{tg} \frac{x}{2}$ и тождества из упражнения 21.48, решите уравнение:

а) $\sin x + 7 \cos x = 5;$

б) $5 \sin x + 10 \cos x + 2 = 0.$

Для решения данных уравнений воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой. Пусть $u = \operatorname{tg}\frac{x}{2}$. Тогда синус и косинус выражаются через тангенс половинного угла следующими формулами (тождества из упражнения 21.48):

$\sin x = \frac{2\operatorname{tg}\frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2\frac{x}{2}} = \frac{2u}{1+u^2}$

$\cos x = \frac{1 - \operatorname{tg}^2\frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2\frac{x}{2}} = \frac{1-u^2}{1+u^2}$

Эта подстановка имеет ограничение: $\frac{x}{2} \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, то есть $x \neq \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Поэтому необходимо проверять, не являются ли значения $x = \pi + 2\pi n$ корнями исходного уравнения.

а)

Решим уравнение $\sin x + 7\cos x = 5$.

Проверим, является ли $x = \pi + 2\pi n$ решением. Подставим $x=\pi$ в уравнение:

$\sin(\pi) + 7\cos(\pi) = 0 + 7(-1) = -7$.

Поскольку $-7 \neq 5$, значения $x = \pi + 2\pi n$ не являются корнями уравнения.

Теперь выполним замену:

$\frac{2u}{1+u^2} + 7 \cdot \frac{1-u^2}{1+u^2} = 5$

Умножим обе части уравнения на $1+u^2$ (это выражение не равно нулю):

$2u + 7(1-u^2) = 5(1+u^2)$

$2u + 7 - 7u^2 = 5 + 5u^2$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$12u^2 - 2u - 2 = 0$

Разделим на 2:

$6u^2 - u - 1 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25 = 5^2$.

$u_1 = \frac{1+5}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

$u_2 = \frac{1-5}{2 \cdot 6} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}$

Вернемся к исходной переменной $x$.

1) $\operatorname{tg}\frac{x}{2} = \frac{1}{2}$

$\frac{x}{2} = \operatorname{arctg}\frac{1}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = 2\operatorname{arctg}\frac{1}{2} + 2\pi n$

2) $\operatorname{tg}\frac{x}{2} = -\frac{1}{3}$

$\frac{x}{2} = \operatorname{arctg}(-\frac{1}{3}) + \pi k = -\operatorname{arctg}\frac{1}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = -2\operatorname{arctg}\frac{1}{3} + 2\pi k$

Ответ: $x = 2\operatorname{arctg}\frac{1}{2} + 2\pi n$, $x = -2\operatorname{arctg}\frac{1}{3} + 2\pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

б)

Решим уравнение $5\sin x + 10\cos x + 2 = 0$.

Проверим, является ли $x = \pi + 2\pi n$ решением. Подставим $x=\pi$ в уравнение:

$5\sin(\pi) + 10\cos(\pi) + 2 = 5(0) + 10(-1) + 2 = -8$.

Поскольку $-8 \neq 0$, значения $x = \pi + 2\pi n$ не являются корнями уравнения.

Выполним замену $u = \operatorname{tg}\frac{x}{2}$:

$5\frac{2u}{1+u^2} + 10\frac{1-u^2}{1+u^2} + 2 = 0$

Умножим обе части уравнения на $1+u^2$:

$5(2u) + 10(1-u^2) + 2(1+u^2) = 0$

$10u + 10 - 10u^2 + 2 + 2u^2 = 0$

Приведем подобные члены:

$-8u^2 + 10u + 12 = 0$

Разделим уравнение на -2:

$4u^2 - 5u - 6 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-6) = 25 + 96 = 121 = 11^2$.

$u_1 = \frac{5+11}{2 \cdot 4} = \frac{16}{8} = 2$

$u_2 = \frac{5-11}{2 \cdot 4} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4}$

Вернемся к исходной переменной $x$.

1) $\operatorname{tg}\frac{x}{2} = 2$

$\frac{x}{2} = \operatorname{arctg}(2) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = 2\operatorname{arctg}(2) + 2\pi n$

2) $\operatorname{tg}\frac{x}{2} = -\frac{3}{4}$

$\frac{x}{2} = \operatorname{arctg}(-\frac{3}{4}) + \pi k = -\operatorname{arctg}\frac{3}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = -2\operatorname{arctg}\frac{3}{4} + 2\pi k$

Ответ: $x = 2\operatorname{arctg}(2) + 2\pi n$, $x = -2\operatorname{arctg}\frac{3}{4} + 2\pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.