Номер 22.5, страница 72, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§22. Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 22.5, страница 72.

22.5 a) $\sin 3t - \sin t;$

Б) $\cos(\alpha - 2\beta) - \cos(\alpha + 2\beta);$

В) $\cos 6t + \cos 4t;$

Г) $\sin(\alpha - 2\beta) - \sin(\alpha + 2\beta).$

а)

Для преобразования разности синусов в произведение используем формулу разности синусов:

$\sin x - \sin y = 2 \sin\frac{x-y}{2} \cos\frac{x+y}{2}$

В нашем случае $x = 3t$ и $y = t$.

Подставляем значения в формулу:

$\sin 3t - \sin t = 2 \sin\frac{3t-t}{2} \cos\frac{3t+t}{2} = 2 \sin\frac{2t}{2} \cos\frac{4t}{2} = 2 \sin t \cos 2t$.

Ответ: $2 \sin t \cos 2t$.

б)

Для преобразования разности косинусов в произведение используем формулу разности косинусов:

$\cos x - \cos y = -2 \sin\frac{x+y}{2} \sin\frac{x-y}{2}$

В данном примере $x = \alpha - 2\beta$ и $y = \alpha + 2\beta$.

Вычислим полусумму и полуразность аргументов:

$\frac{x+y}{2} = \frac{(\alpha - 2\beta) + (\alpha + 2\beta)}{2} = \frac{2\alpha}{2} = \alpha$

$\frac{x-y}{2} = \frac{(\alpha - 2\beta) - (\alpha + 2\beta)}{2} = \frac{\alpha - 2\beta - \alpha - 2\beta}{2} = \frac{-4\beta}{2} = -2\beta$

Подставляем полученные значения в формулу:

$\cos(\alpha - 2\beta) - \cos(\alpha + 2\beta) = -2 \sin(\alpha) \sin(-2\beta)$.

Используя свойство нечетности синуса $\sin(-z) = -\sin z$, получаем:

$-2 \sin(\alpha) (-\sin(2\beta)) = 2 \sin\alpha \sin 2\beta$.

Ответ: $2 \sin\alpha \sin 2\beta$.

в)

Для преобразования суммы косинусов в произведение используем формулу суммы косинусов:

$\cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2}$

Здесь $x = 6t$ и $y = 4t$.

Подставляем значения в формулу:

$\cos 6t + \cos 4t = 2 \cos\frac{6t+4t}{2} \cos\frac{6t-4t}{2} = 2 \cos\frac{10t}{2} \cos\frac{2t}{2} = 2 \cos 5t \cos t$.

Ответ: $2 \cos 5t \cos t$.

г)

Для преобразования разности синусов в произведение используем формулу разности синусов:

$\sin x - \sin y = 2 \sin\frac{x-y}{2} \cos\frac{x+y}{2}$

В этом случае $x = \alpha - 2\beta$ и $y = \alpha + 2\beta$.

Вычислим полусумму и полуразность аргументов:

$\frac{x-y}{2} = \frac{(\alpha - 2\beta) - (\alpha + 2\beta)}{2} = \frac{\alpha - 2\beta - \alpha - 2\beta}{2} = \frac{-4\beta}{2} = -2\beta$

$\frac{x+y}{2} = \frac{(\alpha - 2\beta) + (\alpha + 2\beta)}{2} = \frac{2\alpha}{2} = \alpha$

Подставляем полученные значения в формулу:

$\sin(\alpha - 2\beta) - \sin(\alpha + 2\beta) = 2 \sin(-2\beta) \cos(\alpha)$.

Так как синус — функция нечетная, $\sin(-z) = -\sin z$, то:

$2 (-\sin(2\beta)) \cos(\alpha) = -2 \sin 2\beta \cos\alpha$.

Ответ: $-2 \sin 2\beta \cos\alpha$.