Номер 22.7, страница 72, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§22. Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 22.7, страница 72.

22.7 Вычислите:

а) $ \frac{\cos 68^\circ - \cos 22^\circ}{\sin 68^\circ - \sin 22^\circ}; $

б) $ \frac{\sin 130^\circ + \sin 110^\circ}{\cos 130^\circ + \cos 110^\circ}. $

а)

Для решения этой задачи воспользуемся формулами преобразования разности тригонометрических функций в произведение (формулы суммы-произведения).

Формула разности косинусов: $ \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\frac{\alpha + \beta}{2} \sin\frac{\alpha - \beta}{2} $.

Формула разности синусов: $ \sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos\frac{\alpha + \beta}{2} \sin\frac{\alpha - \beta}{2} $.

Применим эти формулы к числителю и знаменателю исходной дроби, положив $ \alpha = 68^\circ $ и $ \beta = 22^\circ $.

Преобразуем числитель:

$ \cos 68^\circ - \cos 22^\circ = -2 \sin\frac{68^\circ + 22^\circ}{2} \sin\frac{68^\circ - 22^\circ}{2} = -2 \sin\frac{90^\circ}{2} \sin\frac{46^\circ}{2} = -2 \sin 45^\circ \sin 23^\circ $.

Преобразуем знаменатель:

$ \sin 68^\circ - \sin 22^\circ = 2 \cos\frac{68^\circ + 22^\circ}{2} \sin\frac{68^\circ - 22^\circ}{2} = 2 \cos\frac{90^\circ}{2} \sin\frac{46^\circ}{2} = 2 \cos 45^\circ \sin 23^\circ $.

Теперь подставим полученные выражения обратно в дробь:

$ \frac{\cos 68^\circ - \cos 22^\circ}{\sin 68^\circ - \sin 22^\circ} = \frac{-2 \sin 45^\circ \sin 23^\circ}{2 \cos 45^\circ \sin 23^\circ} $.

Сократим общие множители $ 2 $ и $ \sin 23^\circ $ (так как $ \sin 23^\circ \ne 0 $):

$ \frac{-\sin 45^\circ}{\cos 45^\circ} = -\tan 45^\circ $.

Зная, что $ \tan 45^\circ = 1 $, получаем:

$ -\tan 45^\circ = -1 $.

Ответ: $ -1 $

б)

Для решения этой задачи воспользуемся формулами преобразования суммы тригонометрических функций в произведение.

Формула суммы синусов: $ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha + \beta}{2} \cos\frac{\alpha - \beta}{2} $.

Формула суммы косинусов: $ \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\frac{\alpha + \beta}{2} \cos\frac{\alpha - \beta}{2} $.

Применим эти формулы к числителю и знаменателю, положив $ \alpha = 130^\circ $ и $ \beta = 110^\circ $.

Преобразуем числитель:

$ \sin 130^\circ + \sin 110^\circ = 2 \sin\frac{130^\circ + 110^\circ}{2} \cos\frac{130^\circ - 110^\circ}{2} = 2 \sin\frac{240^\circ}{2} \cos\frac{20^\circ}{2} = 2 \sin 120^\circ \cos 10^\circ $.

Преобразуем знаменатель:

$ \cos 130^\circ + \cos 110^\circ = 2 \cos\frac{130^\circ + 110^\circ}{2} \cos\frac{130^\circ - 110^\circ}{2} = 2 \cos\frac{240^\circ}{2} \cos\frac{20^\circ}{2} = 2 \cos 120^\circ \cos 10^\circ $.

Подставим полученные выражения в дробь:

$ \frac{\sin 130^\circ + \sin 110^\circ}{\cos 130^\circ + \cos 110^\circ} = \frac{2 \sin 120^\circ \cos 10^\circ}{2 \cos 120^\circ \cos 10^\circ} $.

Сократим общие множители $ 2 $ и $ \cos 10^\circ $ (так как $ \cos 10^\circ \ne 0 $):

$ \frac{\sin 120^\circ}{\cos 120^\circ} = \tan 120^\circ $.

Чтобы найти значение $ \tan 120^\circ $, воспользуемся формулой приведения: $ \tan(180^\circ - \alpha) = -\tan \alpha $.

$ \tan 120^\circ = \tan(180^\circ - 60^\circ) = -\tan 60^\circ $.

Зная, что $ \tan 60^\circ = \sqrt{3} $, получаем:

$ -\tan 60^\circ = -\sqrt{3} $.

Ответ: $ -\sqrt{3} $