Номер 21.51, страница 71, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§21. Формулы двойного аргумента и формулы понижения степени. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 21.51, страница 71.

21.51 a) $ \sin 2x + 2 \sin x = 2 - 2 \cos x; $

б) $ 4 \sin 2x + 8(\sin x - \cos x) = 7. $

a) Решим уравнение $\sin 2x + 2\sin x = 2 - 2\cos x$.
Перенесем все члены в левую часть и преобразуем уравнение:
$\sin 2x + 2\sin x + 2\cos x - 2 = 0$
$\sin 2x + 2(\sin x + \cos x) - 2 = 0$
Данное уравнение удобно решать с помощью введения новой переменной. Пусть $t = \sin x + \cos x$.
Чтобы выразить $\sin 2x$ через $t$, возведем обе части замены в квадрат:
$t^2 = (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x$
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$, получаем:
$t^2 = 1 + \sin 2x$, откуда $\sin 2x = t^2 - 1$.
Подставим полученные выражения в исходное уравнение:
$(t^2 - 1) + 2t - 2 = 0$
$t^2 + 2t - 3 = 0$
Мы получили квадратное уравнение относительно $t$. Его корни можно найти по теореме Виета: $t_1 \cdot t_2 = -3$ и $t_1 + t_2 = -2$. Отсюда $t_1 = 1$ и $t_2 = -3$.
Теперь выполним обратную замену для каждого из корней.
1) $t = -3 \implies \sin x + \cos x = -3$.
Чтобы оценить левую часть, используем метод вспомогательного угла: $\sin x + \cos x = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x) = \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})$.
Область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$, следовательно, область значений выражения $\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})$ — это отрезок $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$. Поскольку число $-3$ не принадлежит этому отрезку ($-\sqrt{2} \approx -1.414$), уравнение $\sin x + \cos x = -3$ не имеет решений.
2) $t = 1 \implies \sin x + \cos x = 1$.
Используя то же преобразование, получаем: $\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) = 1$.
$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Это простейшее тригонометрическое уравнение имеет две серии решений:
а) $x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \implies x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
б) $x + \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

б) Решим уравнение $4\sin 2x + 8(\sin x - \cos x) = 7$.
Это уравнение также решается методом замены. Пусть $t = \sin x - \cos x$.
Возведем обе части замены в квадрат:
$t^2 = (\sin x - \cos x)^2 = \sin^2 x - 2\sin x \cos x + \cos^2 x = 1 - \sin 2x$.
Отсюда выражаем $\sin 2x = 1 - t^2$.
Подставим замену и полученное выражение в исходное уравнение:
$4(1 - t^2) + 8t = 7$
$4 - 4t^2 + 8t - 7 = 0$
$-4t^2 + 8t - 3 = 0$
Умножим на -1 для удобства: $4t^2 - 8t + 3 = 0$.
Решим это квадратное уравнение относительно $t$ с помощью формулы корней:
$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 64 - 48 = 16 = 4^2$.
$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm 4}{2 \cdot 4} = \frac{8 \pm 4}{8}$.
$t_1 = \frac{8+4}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$.
$t_2 = \frac{8-4}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
Выполним обратную замену.
1) $t = \frac{3}{2} \implies \sin x - \cos x = \frac{3}{2}$.
Преобразуем левую часть: $\sin x - \cos x = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x) = \sqrt{2}\sin(x - \frac{\pi}{4})$.
Область значений выражения $\sqrt{2}\sin(x - \frac{\pi}{4})$ — это отрезок $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$. Так как $\frac{3}{2} = 1.5$, а $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $1.5 > \sqrt{2}$. Следовательно, это уравнение не имеет решений.
2) $t = \frac{1}{2} \implies \sin x - \cos x = \frac{1}{2}$.
Используя то же преобразование, получаем: $\sqrt{2}\sin(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}$.
$\sin(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.
Общее решение для уравнения вида $\sin\alpha = a$ записывается как $\alpha = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$.
$x - \frac{\pi}{4} = (-1)^k \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{4}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Переносим $\frac{\pi}{4}$ в правую часть, чтобы выразить $x$:
$x = \frac{\pi}{4} + (-1)^k \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{4}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\frac{\pi}{4} + (-1)^k \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{4}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.