Номер 21.50, страница 71, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§21. Формулы двойного аргумента и формулы понижения степени. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 21.50, страница 71.

Решите уравнение:

21.50 a) $\cos \frac{1}{x^2 - \pi^2} \cdot \sin 2x = 8 \sin x \cos x;$

б) $16 \sin x \cos x + \sin 2x \sin \frac{1}{x} = 0.$

а)
Исходное уравнение: $ \cos \frac{1}{x^2 - \pi^2} \cdot \sin 2x = 8 \sin x \cos x $.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби в аргументе косинуса не должен быть равен нулю:
$ x^2 - \pi^2 \neq 0 $
$ x^2 \neq \pi^2 $
$ x \neq \pm \pi $

Теперь преобразуем правую часть уравнения, используя формулу синуса двойного угла $ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha $:
$ 8 \sin x \cos x = 4 \cdot (2 \sin x \cos x) = 4 \sin 2x $

Подставим это выражение в исходное уравнение:
$ \cos \frac{1}{x^2 - \pi^2} \cdot \sin 2x = 4 \sin 2x $

Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель $ \sin 2x $ за скобки:
$ \cos \frac{1}{x^2 - \pi^2} \cdot \sin 2x - 4 \sin 2x = 0 $
$ \sin 2x \left( \cos \frac{1}{x^2 - \pi^2} - 4 \right) = 0 $

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум случаям:

1) $ \sin 2x = 0 $
Это простейшее тригонометрическое уравнение, его решения:
$ 2x = k\pi $, где $ k \in \mathbb{Z} $ (множество целых чисел).
$ x = \frac{k\pi}{2} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Теперь нужно исключить из этой серии корней те, которые не входят в ОДЗ ($ x \neq \pm \pi $).
Если $ x = \pi $, то $ \frac{k\pi}{2} = \pi \implies k = 2 $.
Если $ x = -\pi $, то $ \frac{k\pi}{2} = -\pi \implies k = -2 $.
Значит, из набора решений нужно исключить случаи, когда $ k = 2 $ и $ k = -2 $.

2) $ \cos \frac{1}{x^2 - \pi^2} - 4 = 0 $
$ \cos \frac{1}{x^2 - \pi^2} = 4 $
Это уравнение не имеет решений, так как область значений функции косинус $ [-1, 1] $, а $ 4 $ не входит в этот промежуток.

Объединяя результаты, получаем итоговое решение.

Ответ: $ x = \frac{k\pi}{2}, \text{ где } k \in \mathbb{Z}, k \neq \pm 2 $.

---

б)
Исходное уравнение: $ 16 \sin x \cos x + \sin 2x \sin \frac{1}{x} = 0 $.

Определим ОДЗ. Знаменатель дроби в аргументе синуса не должен быть равен нулю:
$ x \neq 0 $

Преобразуем первое слагаемое с помощью формулы синуса двойного угла:
$ 16 \sin x \cos x = 8 \cdot (2 \sin x \cos x) = 8 \sin 2x $

Подставим преобразованное выражение в уравнение:
$ 8 \sin 2x + \sin 2x \sin \frac{1}{x} = 0 $

Вынесем общий множитель $ \sin 2x $ за скобки:
$ \sin 2x \left( 8 + \sin \frac{1}{x} \right) = 0 $

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1) $ \sin 2x = 0 $
$ 2x = k\pi $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
$ x = \frac{k\pi}{2} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Сверим эти решения с ОДЗ ($ x \neq 0 $).
Если $ x = 0 $, то $ \frac{k\pi}{2} = 0 \implies k = 0 $.
Следовательно, из серии решений необходимо исключить случай, когда $ k = 0 $.

2) $ 8 + \sin \frac{1}{x} = 0 $
$ \sin \frac{1}{x} = -8 $
Это уравнение не имеет решений, так как область значений функции синус $ [-1, 1] $, а $ -8 $ не входит в этот промежуток.

Таким образом, решениями являются только корни из первого случая с учетом ОДЗ.

Ответ: $ x = \frac{k\pi}{2}, \text{ где } k \in \mathbb{Z}, k \neq 0 $.