Номер 22.14, страница 73, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов


Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.
Тип: Задачник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый
Часть: 2
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
§22. Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 22.14, страница 73.
№22.14 (с. 73)
Условие. №22.14 (с. 73)
скриншот условия

22.14 а) $\sin 87^\circ - \sin 59^\circ - \sin 93^\circ + \sin 61^\circ = \sin 1^\circ$;
б) $\cos 115^\circ - \cos 35^\circ + \cos 65^\circ + \cos 25^\circ = \sin 5^\circ$.
Решение 1. №22.14 (с. 73)

Решение 2. №22.14 (с. 73)

Решение 3. №22.14 (с. 73)

Решение 5. №22.14 (с. 73)

Решение 6. №22.14 (с. 73)
а) Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть: $\sin 87^\circ - \sin 59^\circ - \sin 93^\circ + \sin 61^\circ$.
Сначала воспользуемся формулами приведения для $\sin 87^\circ$ и $\sin 93^\circ$.
$\sin 87^\circ = \sin(90^\circ - 3^\circ) = \cos 3^\circ$
$\sin 93^\circ = \sin(90^\circ + 3^\circ) = \cos 3^\circ$
Подставим эти значения в исходное выражение:
$\cos 3^\circ - \sin 59^\circ - \cos 3^\circ + \sin 61^\circ$
Сгруппируем слагаемые: $(\cos 3^\circ - \cos 3^\circ) + (\sin 61^\circ - \sin 59^\circ) = 0 + \sin 61^\circ - \sin 59^\circ = \sin 61^\circ - \sin 59^\circ$.
Теперь применим формулу разности синусов $\sin \alpha - \sin \beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$:
$\sin 61^\circ - \sin 59^\circ = 2\cos\frac{61^\circ+59^\circ}{2}\sin\frac{61^\circ-59^\circ}{2} = 2\cos\frac{120^\circ}{2}\sin\frac{2^\circ}{2} = 2\cos 60^\circ \sin 1^\circ$.
Зная, что $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$, получаем:
$2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sin 1^\circ = \sin 1^\circ$.
Таким образом, левая часть тождества равна правой части. Тождество доказано.
Ответ: левая часть выражения равна $\sin 1^\circ$, тождество верно.
б) Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть: $\cos 115^\circ - \cos 35^\circ + \cos 65^\circ + \cos 25^\circ$.
Воспользуемся формулой приведения для $\cos 115^\circ$:
$\cos 115^\circ = \cos(180^\circ - 65^\circ) = -\cos 65^\circ$.
Подставим это значение в исходное выражение:
$-\cos 65^\circ - \cos 35^\circ + \cos 65^\circ + \cos 25^\circ$.
Сгруппируем слагаемые: $(-\cos 65^\circ + \cos 65^\circ) + (\cos 25^\circ - \cos 35^\circ) = 0 + \cos 25^\circ - \cos 35^\circ = \cos 25^\circ - \cos 35^\circ$.
Теперь применим формулу разности косинусов $\cos \alpha - \cos \beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$:
$\cos 25^\circ - \cos 35^\circ = -2\sin\frac{25^\circ+35^\circ}{2}\sin\frac{25^\circ-35^\circ}{2} = -2\sin\frac{60^\circ}{2}\sin\frac{-10^\circ}{2} = -2\sin 30^\circ \sin(-5^\circ)$.
Используя свойство нечетности синуса $\sin(-\alpha) = -\sin \alpha$ и значение $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, получаем:
$-2 \cdot \frac{1}{2} \cdot (-\sin 5^\circ) = -1 \cdot (-\sin 5^\circ) = \sin 5^\circ$.
Таким образом, левая часть тождества равна правой части. Тождество доказано.
Ответ: левая часть выражения равна $\sin 5^\circ$, тождество верно.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 22.14 расположенного на странице 73 для 2-й части к задачнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №22.14 (с. 73), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), 2-й части ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.