Номер 22.14, страница 73, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. §22. Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения - номер 22.14, страница 73.

Условие.

22.14 а) $\sin 87^\circ - \sin 59^\circ - \sin 93^\circ + \sin 61^\circ = \sin 1^\circ$;

б) $\cos 115^\circ - \cos 35^\circ + \cos 65^\circ + \cos 25^\circ = \sin 5^\circ$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а) Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть: $\sin 87^\circ - \sin 59^\circ - \sin 93^\circ + \sin 61^\circ$.
Сначала воспользуемся формулами приведения для $\sin 87^\circ$ и $\sin 93^\circ$.
$\sin 87^\circ = \sin(90^\circ - 3^\circ) = \cos 3^\circ$
$\sin 93^\circ = \sin(90^\circ + 3^\circ) = \cos 3^\circ$
Подставим эти значения в исходное выражение:
$\cos 3^\circ - \sin 59^\circ - \cos 3^\circ + \sin 61^\circ$
Сгруппируем слагаемые: $(\cos 3^\circ - \cos 3^\circ) + (\sin 61^\circ - \sin 59^\circ) = 0 + \sin 61^\circ - \sin 59^\circ = \sin 61^\circ - \sin 59^\circ$.
Теперь применим формулу разности синусов $\sin \alpha - \sin \beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$:
$\sin 61^\circ - \sin 59^\circ = 2\cos\frac{61^\circ+59^\circ}{2}\sin\frac{61^\circ-59^\circ}{2} = 2\cos\frac{120^\circ}{2}\sin\frac{2^\circ}{2} = 2\cos 60^\circ \sin 1^\circ$.
Зная, что $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$, получаем:
$2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sin 1^\circ = \sin 1^\circ$.
Таким образом, левая часть тождества равна правой части. Тождество доказано.
Ответ: левая часть выражения равна $\sin 1^\circ$, тождество верно.

б) Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть: $\cos 115^\circ - \cos 35^\circ + \cos 65^\circ + \cos 25^\circ$.
Воспользуемся формулой приведения для $\cos 115^\circ$:
$\cos 115^\circ = \cos(180^\circ - 65^\circ) = -\cos 65^\circ$.
Подставим это значение в исходное выражение:
$-\cos 65^\circ - \cos 35^\circ + \cos 65^\circ + \cos 25^\circ$.
Сгруппируем слагаемые: $(-\cos 65^\circ + \cos 65^\circ) + (\cos 25^\circ - \cos 35^\circ) = 0 + \cos 25^\circ - \cos 35^\circ = \cos 25^\circ - \cos 35^\circ$.
Теперь применим формулу разности косинусов $\cos \alpha - \cos \beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$:
$\cos 25^\circ - \cos 35^\circ = -2\sin\frac{25^\circ+35^\circ}{2}\sin\frac{25^\circ-35^\circ}{2} = -2\sin\frac{60^\circ}{2}\sin\frac{-10^\circ}{2} = -2\sin 30^\circ \sin(-5^\circ)$.
Используя свойство нечетности синуса $\sin(-\alpha) = -\sin \alpha$ и значение $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, получаем:
$-2 \cdot \frac{1}{2} \cdot (-\sin 5^\circ) = -1 \cdot (-\sin 5^\circ) = \sin 5^\circ$.
Таким образом, левая часть тождества равна правой части. Тождество доказано.
Ответ: левая часть выражения равна $\sin 5^\circ$, тождество верно.