Номер 22.20, страница 74, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. §22. Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения - номер 22.20, страница 74.

Условие.

22.20 При каких значениях $x$ числа $a$, $b$, $c$ образуют арифметическую прогрессию, если:

a) $a = \cos 7x$, $b = \cos 2x$, $c = \cos 11x$;

б) $a = \sin 3x$, $b = \cos x$, $c = \sin 5x$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а) Для того чтобы три числа $a$, $b$ и $c$ образовывали арифметическую прогрессию, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство $2b = a + c$. Это основное свойство арифметической прогрессии, которое гласит, что каждый член, начиная со второго, является средним арифметическим соседних с ним членов.

Подставим в это равенство заданные выражения для $a$, $b$ и $c$: $ a = \cos(7x) $, $ b = \cos(2x) $, $ c = \cos(11x) $ $ 2\cos(2x) = \cos(7x) + \cos(11x) $

Для решения этого тригонометрического уравнения воспользуемся формулой суммы косинусов: $ \cos(\alpha) + \cos(\beta) = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $

Применив ее к правой части нашего уравнения, получим: $ \cos(7x) + \cos(11x) = 2\cos\frac{7x+11x}{2}\cos\frac{11x-7x}{2} = 2\cos(9x)\cos(2x) $

Теперь уравнение принимает вид: $ 2\cos(2x) = 2\cos(9x)\cos(2x) $

Перенесем все члены в одну сторону и вынесем общий множитель $2\cos(2x)$ за скобки: $ 2\cos(2x) - 2\cos(9x)\cos(2x) = 0 $ $ 2\cos(2x)(1 - \cos(9x)) = 0 $

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит нас к двум независимым уравнениям:
1) $ \cos(2x) = 0 $
Решением этого уравнения является $ 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $k$ - любое целое число ($k \in Z$).
Отсюда $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} $, $ k \in Z $.

2) $ 1 - \cos(9x) = 0 $, что равносильно $ \cos(9x) = 1 $.
Решением этого уравнения является $ 9x = 2\pi n $, где $n$ - любое целое число ($n \in Z$).
Отсюда $ x = \frac{2\pi n}{9} $, $ n \in Z $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} $ или $ x = \frac{2\pi n}{9} $, где $k, n \in Z$.

б) Аналогично предыдущему пункту, используем свойство арифметической прогрессии $2b = a + c$.

Подставим заданные выражения: $ a = \sin(3x) $, $ b = \cos(x) $, $ c = \sin(5x) $ $ 2\cos(x) = \sin(3x) + \sin(5x) $

Для решения воспользуемся формулой суммы синусов: $ \sin(\alpha) + \sin(\beta) = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $

Применив ее к правой части нашего уравнения, получим: $ \sin(3x) + \sin(5x) = 2\sin\frac{3x+5x}{2}\cos\frac{5x-3x}{2} = 2\sin(4x)\cos(x) $

Уравнение принимает вид: $ 2\cos(x) = 2\sin(4x)\cos(x) $

Перенесем все члены в одну сторону и вынесем общий множитель $2\cos(x)$ за скобки: $ 2\cos(x) - 2\sin(4x)\cos(x) = 0 $ $ 2\cos(x)(1 - \sin(4x)) = 0 $

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассматриваем два случая:
1) $ \cos(x) = 0 $
Решением этого уравнения является $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $k \in Z$.

2) $ 1 - \sin(4x) = 0 $, что равносильно $ \sin(4x) = 1 $.
Решением этого уравнения является $ 4x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n $, где $n \in Z$.
Отсюда $ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2} $, где $n \in Z$.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k $ или $ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2} $, где $k, n \in Z$.