Номер 22.27, страница 74, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§22. Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 22.27, страница 74.

22.27 a) $ \sin x + \sin 3x + \cos x + \cos 3x = 0 $;

б) $ \sin 5x + \sin x + 2 \sin^2 x = 1 $.

а) Исходное уравнение: $\sin x + \sin 3x + \cos x + \cos 3x = 0$.
Сгруппируем слагаемые: $(\sin 3x + \sin x) + (\cos 3x + \cos x) = 0$.
Применим формулы суммы синусов и суммы косинусов: $\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$ и $\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$.
В результате преобразования получаем:
$2 \sin\left(\frac{3x+x}{2}\right) \cos\left(\frac{3x-x}{2}\right) + 2 \cos\left(\frac{3x+x}{2}\right) \cos\left(\frac{3x-x}{2}\right) = 0$
$2 \sin(2x)\cos(x) + 2 \cos(2x)\cos(x) = 0$
Вынесем общий множитель $2\cos(x)$ за скобки:
$2\cos(x)(\sin(2x) + \cos(2x)) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, уравнение распадается на два случая:
1) $\cos(x) = 0$. Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является серия корней $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2) $\sin(2x) + \cos(2x) = 0$. Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Разделим обе части на $\cos(2x) \neq 0$ (если $\cos(2x) = 0$, то $\sin(2x) = \pm 1$, и сумма не равна нулю, так что деление возможно).
$\tan(2x) + 1 = 0$
$\tan(2x) = -1$
$2x = \arctan(-1) + \pi k = -\frac{\pi}{4} + \pi k$
$x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Объединяя решения обоих случаев, получаем окончательный ответ.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \; x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

б) Исходное уравнение: $\sin 5x + \sin x + 2 \sin^2 x = 1$.
Перенесем $2 \sin^2 x$ в правую часть уравнения:
$\sin 5x + \sin x = 1 - 2 \sin^2 x$
К левой части применим формулу суммы синусов, а правую часть преобразуем по формуле косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$.
$2 \sin\left(\frac{5x+x}{2}\right) \cos\left(\frac{5x-x}{2}\right) = \cos(2x)$
$2 \sin(3x)\cos(2x) = \cos(2x)$
Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель $\cos(2x)$ за скобки:
$2 \sin(3x)\cos(2x) - \cos(2x) = 0$
$\cos(2x)(2 \sin(3x) - 1) = 0$
Это уравнение также распадается на два случая:
1) $\cos(2x) = 0$. Отсюда $2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, что дает серию решений $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2) $2 \sin(3x) - 1 = 0$, или $\sin(3x) = \frac{1}{2}$.
Решением этого уравнения является $3x = (-1)^k \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi k$.
$3x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$
$x = (-1)^k \frac{\pi}{18} + \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Объединяя решения обоих случаев, получаем окончательный ответ.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \; x = (-1)^k \frac{\pi}{18} + \frac{\pi k}{3}$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.