Номер 22.28, страница 74, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§22. Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 22.28, страница 74.

22.28 Сколько корней имеет заданное уравнение на отрезке $ \left[0; \frac{\pi}{2}\right] $:

a) $ \sin 2x + \sin 6x = \cos 2x $;

б) $ 2 \cos^2 x - 1 = \sin 3x $?

а)

Исходное уравнение: $\sin 2x + \sin 6x = \cos 2x$.
Воспользуемся формулой суммы синусов: $\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.
Применим ее к левой части уравнения, поменяв слагаемые местами для удобства: $\sin 6x + \sin 2x = 2 \sin\frac{6x+2x}{2} \cos\frac{6x-2x}{2} = 2 \sin 4x \cos 2x$.

Уравнение принимает вид:
$2 \sin 4x \cos 2x = \cos 2x$.
Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель $\cos 2x$ за скобки: $2 \sin 4x \cos 2x - \cos 2x = 0$
$\cos 2x (2 \sin 4x - 1) = 0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум независимым уравнениям:

1) $\cos 2x = 0$
$2x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (здесь и далее $k, n, m$ - целые числа).
$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$.

2) $2 \sin 4x - 1 = 0 \implies \sin 4x = \frac{1}{2}$
Это уравнение имеет две серии решений:
$4x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \implies x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{2}$.
$4x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi m = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m \implies x = \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi m}{2}$.

Теперь найдем корни, принадлежащие заданному отрезку $[0; \frac{\pi}{2}]$.
Для первой серии $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$:
При $k=0$, $x = \frac{\pi}{4}$. Этот корень принадлежит отрезку $[0; \frac{\pi}{2}]$.
При $k=1$, $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{4} > \frac{\pi}{2}$.
При $k=-1$, $x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{4} < 0$.

Для серии $x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{2}$:
При $n=0$, $x = \frac{\pi}{24}$. Этот корень принадлежит отрезку $[0; \frac{\pi}{2}]$.
При $n=1$, $x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi}{2} = \frac{13\pi}{24} > \frac{\pi}{2}$.
При $n=-1$, $x = \frac{\pi}{24} - \frac{\pi}{2} < 0$.

Для серии $x = \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi m}{2}$:
При $m=0$, $x = \frac{5\pi}{24}$. Этот корень принадлежит отрезку $[0; \frac{\pi}{2}]$ (так как $\frac{5}{24} < \frac{1}{2}$).
При $m=1$, $x = \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi}{2} = \frac{17\pi}{24} > \frac{\pi}{2}$.
При $m=-1$, $x = \frac{5\pi}{24} - \frac{\pi}{2} < 0$.

Мы получили три различных корня на заданном отрезке: $x_1 = \frac{\pi}{24}$, $x_2 = \frac{5\pi}{24}$, $x_3 = \frac{\pi}{4}$.

Ответ: 3

б)

Исходное уравнение: $2 \cos^2 x - 1 = \sin 3x$.
Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1$.
Левая часть уравнения преобразуется к $\cos 2x$.

Уравнение принимает вид:
$\cos 2x = \sin 3x$.
Для решения этого уравнения используем формулу приведения $\sin \alpha = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$: $\cos 2x = \cos(\frac{\pi}{2} - 3x)$.

Равенство $\cos A = \cos B$ выполняется, если $A = \pm B + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (здесь и далее $k, n$ - целые числа).
Рассмотрим два случая:

1) $2x = (\frac{\pi}{2} - 3x) + 2\pi k$
$5x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$
$x = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi k}{5}$.

2) $2x = -(\frac{\pi}{2} - 3x) + 2\pi n$
$2x = 3x - \frac{\pi}{2} + 2\pi n$
$-x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$
$x = \frac{\pi}{2} - 2\pi n$.

Теперь найдем корни, принадлежащие заданному отрезку $[0; \frac{\pi}{2}]$.
Для первой серии $x = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi k}{5}$:
При $k=0$, $x = \frac{\pi}{10}$. Этот корень принадлежит отрезку $[0; \frac{\pi}{2}]$.
При $k=1$, $x = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi}{5} = \frac{\pi + 4\pi}{10} = \frac{5\pi}{10} = \frac{\pi}{2}$. Этот корень принадлежит отрезку $[0; \frac{\pi}{2}]$.
При $k=2$, $x = \frac{\pi}{10} + \frac{4\pi}{5} = \frac{9\pi}{10} > \frac{\pi}{2}$.
При $k=-1$, $x = \frac{\pi}{10} - \frac{2\pi}{5} = -\frac{3\pi}{10} < 0$.

Для второй серии $x = \frac{\pi}{2} - 2\pi n$ (что эквивалентно $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m$ при $m=-n$):
При $n=0$, $x = \frac{\pi}{2}$. Этот корень уже был найден в первой серии.
При $n=1$, $x = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2} < 0$.
При $n=-1$, $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi > \frac{\pi}{2}$.

Мы получили два различных корня на заданном отрезке: $x_1 = \frac{\pi}{10}$ и $x_2 = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: 2