Номер 22.33, страница 75, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§22. Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 22.33, страница 75.

22.33 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции:

а) $y = \sqrt{3} \sin x + \cos x;$

б) $y = \sin x - \sqrt{3} \cos x;$

в) $y = \sin x - \cos x;$

г) $y = \sqrt{6} \sin x - \sqrt{2} \cos x.$

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции вида $y = a \sin x + b \cos x$ используется метод введения вспомогательного угла. Этот метод позволяет преобразовать выражение к виду $y = R \sin(x + \alpha)$ или $y = R \cos(x - \alpha)$, где амплитуда $R = \sqrt{a^2 + b^2}$.

Так как область значений функции синус (или косинус) — это отрезок $[-1, 1]$, то область значений исходной функции будет отрезком $[-R, R]$. Следовательно, наименьшее значение функции равно $-R$, а наибольшее — $R$.

а) $y = \sqrt{3} \sin x + \cos x$

В этой функции коэффициенты $a = \sqrt{3}$ и $b = 1$.

Вычисляем амплитуду $R$:$R = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

Следовательно, наименьшее значение функции равно $-2$, а наибольшее значение равно $2$.

Для полноты решения преобразуем функцию:$y = 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x \right)$.Зная, что $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, получаем:$y = 2 \left( \sin x \cos(\frac{\pi}{6}) + \cos x \sin(\frac{\pi}{6}) \right) = 2 \sin(x + \frac{\pi}{6})$.Поскольку $-1 \le \sin(x + \frac{\pi}{6}) \le 1$, значения функции находятся в пределах от $-2$ до $2$.

Ответ: наименьшее значение: $-2$, наибольшее значение: $2$.

б) $y = \sin x - \sqrt{3} \cos x$

Здесь коэффициенты $a = 1$ и $b = -\sqrt{3}$.

Вычисляем амплитуду $R$:$R = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$.

Таким образом, наименьшее значение функции равно $-2$, а наибольшее — $2$.

Преобразуем функцию:$y = 2 \left( \frac{1}{2} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x \right)$.Зная, что $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:$y = 2 \left( \sin x \cos(\frac{\pi}{3}) - \cos x \sin(\frac{\pi}{3}) \right) = 2 \sin(x - \frac{\pi}{3})$.Так как $-1 \le \sin(x - \frac{\pi}{3}) \le 1$, значения функции лежат в диапазоне от $-2$ до $2$.

Ответ: наименьшее значение: $-2$, наибольшее значение: $2$.

в) $y = \sin x - \cos x$

Здесь коэффициенты $a = 1$ и $b = -1$.

Вычисляем амплитуду $R$:$R = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

Следовательно, наименьшее значение функции равно $-\sqrt{2}$, а наибольшее — $\sqrt{2}$.

Преобразуем функцию:$y = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x \right)$.Зная, что $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$, получаем:$y = \sqrt{2} \left( \sin x \cos(\frac{\pi}{4}) - \cos x \sin(\frac{\pi}{4}) \right) = \sqrt{2} \sin(x - \frac{\pi}{4})$.Поскольку $-1 \le \sin(x - \frac{\pi}{4}) \le 1$, значения функции находятся в пределах от $-\sqrt{2}$ до $\sqrt{2}$.

Ответ: наименьшее значение: $-\sqrt{2}$, наибольшее значение: $\sqrt{2}$.

г) $y = \sqrt{6} \sin x - \sqrt{2} \cos x$

Здесь коэффициенты $a = \sqrt{6}$ и $b = -\sqrt{2}$.

Вычисляем амплитуду $R$:$R = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(\sqrt{6})^2 + (-\sqrt{2})^2} = \sqrt{6 + 2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

Следовательно, наименьшее значение функции равно $-2\sqrt{2}$, а наибольшее — $2\sqrt{2}$.

Преобразуем функцию:$y = 2\sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}} \sin x - \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} \cos x \right) = 2\sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x - \frac{1}{2} \cos x \right)$.Зная, что $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, получаем:$y = 2\sqrt{2} \left( \sin x \cos(\frac{\pi}{6}) - \cos x \sin(\frac{\pi}{6}) \right) = 2\sqrt{2} \sin(x - \frac{\pi}{6})$.Так как $-1 \le \sin(x - \frac{\pi}{6}) \le 1$, значения функции лежат в диапазоне от $-2\sqrt{2}$ до $2\sqrt{2}$.

Ответ: наименьшее значение: $-2\sqrt{2}$, наибольшее значение: $2\sqrt{2}$.