Номер 22.37, страница 76, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§22. Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 22.37, страница 76.

Решите уравнение:

22.37 a) $\cos 2x + \sqrt{3} \sin 2x = \sqrt{2}$;

б) $\sin 5x - \cos 5x = \frac{\sqrt{6}}{2}$;

В) $\cos \frac{x}{2} - \sqrt{3} \sin \frac{x}{2} + 1 = 0$;

Г) $\sin \frac{x}{3} + \cos \frac{x}{3} = 1$.

а) Исходное уравнение: $ \cos{2x} + \sqrt{3}\sin{2x} = \sqrt{2} $.
Это однородное тригонометрическое уравнение вида $ a\cos{t} + b\sin{t} = c $. Для его решения применим метод введения вспомогательного угла. Разделим обе части уравнения на коэффициент $ \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2 $.
$ \frac{1}{2}\cos{2x} + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin{2x} = \frac{\sqrt{2}}{2} $
Заметим, что $ \frac{1}{2} = \cos{\frac{\pi}{3}} $ и $ \frac{\sqrt{3}}{2} = \sin{\frac{\pi}{3}} $. Подставим эти значения в уравнение:
$ \cos{\frac{\pi}{3}}\cos{2x} + \sin{\frac{\pi}{3}}\sin{2x} = \frac{\sqrt{2}}{2} $
Применим формулу косинуса разности $ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta $:
$ \cos(2x - \frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $
Теперь решим это простейшее тригонометрическое уравнение:
$ 2x - \frac{\pi}{3} = \pm\arccos{\frac{\sqrt{2}}{2}} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $
$ 2x - \frac{\pi}{3} = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi n $
$ 2x = \frac{\pi}{3} \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi n $
Получаем две серии решений:
1) $ 2x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{4\pi+3\pi}{12} + 2\pi n = \frac{7\pi}{12} + 2\pi n \implies x = \frac{7\pi}{24} + \pi n $
2) $ 2x = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{4\pi-3\pi}{12} + 2\pi n = \frac{\pi}{12} + 2\pi n \implies x = \frac{\pi}{24} + \pi n $
Ответ: $ x = \frac{\pi}{24} + \pi n; \quad x = \frac{7\pi}{24} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $.

б) Исходное уравнение: $ \sin{5x} - \cos{5x} = \frac{\sqrt{6}}{2} $.
Разделим обе части уравнения на $ \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} $.
$ \frac{1}{\sqrt{2}}\sin{5x} - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos{5x} = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}} $
$ \frac{\sqrt{2}}{2}\sin{5x} - \frac{\sqrt{2}}{2}\cos{5x} = \frac{\sqrt{3}}{2} $
Заменим $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ на $ \cos{\frac{\pi}{4}} $ и $ \sin{\frac{\pi}{4}} $ соответственно:
$ \sin{5x}\cos{\frac{\pi}{4}} - \cos{5x}\sin{\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} $
Применим формулу синуса разности $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta $:
$ \sin(5x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $
Решаем уравнение:
$ 5x - \frac{\pi}{4} = (-1)^n \arcsin{\frac{\sqrt{3}}{2}} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $
$ 5x - \frac{\pi}{4} = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n $
$ 5x = \frac{\pi}{4} + (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n $
$ x = \frac{\pi}{20} + (-1)^n \frac{\pi}{15} + \frac{\pi n}{5} $
Ответ: $ x = \frac{\pi}{20} + (-1)^n \frac{\pi}{15} + \frac{\pi n}{5}, \quad n \in \mathbb{Z} $.

в) Исходное уравнение: $ \cos{\frac{x}{2}} - \sqrt{3}\sin{\frac{x}{2}} + 1 = 0 $.
Перенесем 1 в правую часть: $ \cos{\frac{x}{2}} - \sqrt{3}\sin{\frac{x}{2}} = -1 $.
Разделим обе части на $ \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2 $.
$ \frac{1}{2}\cos{\frac{x}{2}} - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin{\frac{x}{2}} = -\frac{1}{2} $
Заменим $ \frac{1}{2} = \cos{\frac{\pi}{3}} $ и $ \frac{\sqrt{3}}{2} = \sin{\frac{\pi}{3}} $:
$ \cos{\frac{\pi}{3}}\cos{\frac{x}{2}} - \sin{\frac{\pi}{3}}\sin{\frac{x}{2}} = -\frac{1}{2} $
Применим формулу косинуса суммы $ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta $:
$ \cos(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2} $
Решаем уравнение:
$ \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} = \pm\arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $
$ \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n $
$ \frac{x}{2} = -\frac{\pi}{3} \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n $
Получаем две серии решений:
1) $ \frac{x}{2} = -\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} + 2\pi n = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \implies x = \frac{2\pi}{3} + 4\pi n $
2) $ \frac{x}{2} = -\frac{\pi}{3} - \frac{2\pi}{3} + 2\pi n = -\pi + 2\pi n \implies x = -2\pi + 4\pi n $
Ответ: $ x = \frac{2\pi}{3} + 4\pi n; \quad x = -2\pi + 4\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $.

г) Исходное уравнение: $ \sin{\frac{x}{3}} + \cos{\frac{x}{3}} = 1 $.
Разделим обе части уравнения на $ \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} $.
$ \frac{1}{\sqrt{2}}\sin{\frac{x}{3}} + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos{\frac{x}{3}} = \frac{1}{\sqrt{2}} $
$ \frac{\sqrt{2}}{2}\sin{\frac{x}{3}} + \frac{\sqrt{2}}{2}\cos{\frac{x}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $
Заменим $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ на $ \cos{\frac{\pi}{4}} $ и $ \sin{\frac{\pi}{4}} $ соответственно:
$ \sin{\frac{x}{3}}\cos{\frac{\pi}{4}} + \cos{\frac{x}{3}}\sin{\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $
Применим формулу синуса суммы $ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta $:
$ \sin(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $
Решаем уравнение:
$ \frac{x}{3} + \frac{\pi}{4} = (-1)^n \arcsin{\frac{\sqrt{2}}{2}} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $
$ \frac{x}{3} + \frac{\pi}{4} = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n $
$ \frac{x}{3} = -\frac{\pi}{4} + (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n $
Рассмотрим два случая в зависимости от четности $n$ (заменив $n$ на $k$):
1) Если $ n = 2k $ (четное), то $ (-1)^n = 1 $:
$ \frac{x}{3} = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k = 2\pi k \implies x = 6\pi k $
2) Если $ n = 2k+1 $ (нечетное), то $ (-1)^n = -1 $:
$ \frac{x}{3} = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + \pi(2k+1) = -\frac{\pi}{2} + \pi + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \implies x = \frac{3\pi}{2} + 6\pi k $
Ответ: $ x = 6\pi k; \quad x = \frac{3\pi}{2} + 6\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.