Номер 22.42, страница 76, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§22. Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 22.42, страница 76.

22.42 a) $\sqrt{3} \sin x + \cos x + 2 = \frac{12}{\pi}x;$

б) $\sqrt{2}(\cos x - \sin x) = 2x - \frac{\pi}{2}.$

а)

Рассмотрим уравнение $\sqrt{3} \sin x + \cos x + 2 = \frac{12}{\pi}x$.

Это трансцендентное уравнение, которое удобно решать, анализируя его левую и правую части как отдельные функции.

Пусть $f(x) = \sqrt{3} \sin x + \cos x + 2$ и $g(x) = \frac{12}{\pi}x$.

Преобразуем левую часть, используя метод вспомогательного угла:

$\sqrt{3} \sin x + \cos x = 2(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x)$

Так как $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$, то выражение можно записать как:

$2(\sin x \cos \frac{\pi}{6} + \cos x \sin \frac{\pi}{6}) = 2 \sin(x + \frac{\pi}{6})$

Таким образом, функция $f(x)$ принимает вид:

$f(x) = 2 \sin(x + \frac{\pi}{6}) + 2$

Теперь оценим область значений функции $f(x)$. Поскольку $-1 \le \sin(x + \frac{\pi}{6}) \le 1$, то:

$-2 \le 2 \sin(x + \frac{\pi}{6}) \le 2$

$0 \le 2 \sin(x + \frac{\pi}{6}) + 2 \le 4$

Следовательно, область значений $f(x)$ есть отрезок $[0, 4]$.

Правая часть уравнения, $g(x) = \frac{12}{\pi}x$, является линейной функцией — прямой, проходящей через начало координат.

Решение уравнения существует, если $g(x)$ находится в пределах области значений $f(x)$, то есть $0 \le \frac{12}{\pi}x \le 4$.

Рассмотрим крайний случай. Функция $f(x)$ достигает своего максимального значения 4, когда $\sin(x + \frac{\pi}{6}) = 1$.

$x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Проверим, может ли правая часть быть равной 4 при одном из этих значений $x$. Возьмем $k=0$, тогда $x = \frac{\pi}{3}$.

Подставим $x = \frac{\pi}{3}$ в правую часть уравнения:

$g(\frac{\pi}{3}) = \frac{12}{\pi} \cdot \frac{\pi}{3} = 4$

Мы видим, что при $x = \frac{\pi}{3}$ левая часть уравнения достигает своего максимума, равного 4, и правая часть также равна 4. Следовательно, $x = \frac{\pi}{3}$ является решением уравнения.

Чтобы доказать, что это решение единственное, рассмотрим производные обеих функций. Пусть $h(x) = f(x) - g(x) = 2 \sin(x + \frac{\pi}{6}) + 2 - \frac{12}{\pi}x$. Нам нужно найти корни уравнения $h(x) = 0$.

Найдем производную $h'(x)$:

$h'(x) = 2 \cos(x + \frac{\pi}{6}) - \frac{12}{\pi}$

Поскольку $-1 \le \cos(x + \frac{\pi}{6}) \le 1$, то $-2 \le 2 \cos(x + \frac{\pi}{6}) \le 2$.

Значение $\frac{12}{\pi} \approx \frac{12}{3.14} > 3$.

Следовательно, $h'(x) = 2 \cos(x + \frac{\pi}{6}) - \frac{12}{\pi} \le 2 - \frac{12}{\pi} < 2 - 3 = -1$.

Так как $h'(x) < 0$ для любого $x$, функция $h(x)$ является строго убывающей на всей числовой прямой. Строго монотонная функция может пересекать ось абсцисс не более одного раза. Поскольку мы уже нашли один корень $x = \frac{\pi}{3}$, других решений у уравнения нет.

Ответ: $x = \frac{\pi}{3}$

б)

Рассмотрим уравнение $\sqrt{2}(\cos x - \sin x) = 2x - \frac{\pi}{2}$.

Преобразуем левую часть уравнения, используя метод вспомогательного угла:

$\sqrt{2}(\cos x - \sin x) = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} (\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x - \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x) = 2(\cos x \cos \frac{\pi}{4} - \sin x \sin \frac{\pi}{4}) = 2\cos(x + \frac{\pi}{4})$.

Однако удобнее использовать другую формулу:

$\sqrt{2}(\cos x - \sin x) = 2(\sin \frac{\pi}{4} \cos x - \cos \frac{\pi}{4} \sin x) = 2\sin(\frac{\pi}{4} - x) = -2\sin(x - \frac{\pi}{4})$.

Теперь уравнение принимает вид:

$-2\sin(x - \frac{\pi}{4}) = 2x - \frac{\pi}{2}$

Преобразуем правую часть:

$2x - \frac{\pi}{2} = 2(x - \frac{\pi}{4})$

Подставим это в уравнение:

$-2\sin(x - \frac{\pi}{4}) = 2(x - \frac{\pi}{4})$

Разделим обе части на -2:

$\sin(x - \frac{\pi}{4}) = -(x - \frac{\pi}{4})$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = x - \frac{\pi}{4}$. Тогда уравнение примет вид:

$\sin y = -y$, или $\sin y + y = 0$.

Рассмотрим функцию $h(y) = \sin y + y$.

Очевидно, что $y=0$ является решением этого уравнения, так как $\sin 0 + 0 = 0$.

Чтобы доказать, что это решение единственное, найдем производную функции $h(y)$:

$h'(y) = (\sin y + y)' = \cos y + 1$.

Поскольку $-1 \le \cos y \le 1$, то $0 \le \cos y + 1 \le 2$.

Производная $h'(y) \ge 0$ для всех $y$. Это означает, что функция $h(y)$ является неубывающей. Она строго возрастает везде, кроме точек, где $h'(y) = 0$. Равенство нулю достигается при $\cos y = -1$, то есть при $y = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Поскольку функция $h(y)$ является монотонно неубывающей и не является постоянной ни на каком интервале, она может иметь не более одного корня. Мы уже нашли корень $y=0$. Следовательно, это единственное решение.

Вернемся к исходной переменной:

$y = x - \frac{\pi}{4} = 0$

$x = \frac{\pi}{4}$

Проверим найденное решение, подставив его в исходное уравнение:

ЛЧ: $\sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} - \sin \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot 0 = 0$.

ПЧ: $2(\frac{\pi}{4}) - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} = 0$.

ЛЧ = ПЧ, решение верное.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4}$