Номер 23.4, страница 77, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§23. Преобразование произведений тригонометрических функций в суммы. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 23.4, страница 77.

Решите уравнение:

23.4 a) $ \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) \cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right) - 0,25 = 0; $

б) $ \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) \cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right) = 1. $

а) Исходное уравнение: $ \cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)-0,25=0 $
Перепишем уравнение, перенеся 0,25 в правую часть и представив его в виде дроби 1/4: $ \cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{4} $
Для левой части уравнения можно применить формулу произведения косинусов $ \cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)) $, но также можно раскрыть каждый косинус по формуле косинуса суммы и разности. Воспользуемся вторым способом.
Формулы косинуса суммы и разности: $ \cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta $.
$ \cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right) = \cos x \cos\frac{\pi}{3} - \sin x \sin\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x $
$ \cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right) = \cos x \cos\frac{\pi}{3} + \sin x \sin\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x $
Подставив эти выражения в левую часть уравнения, получим произведение вида $ (a-b)(a+b) $, которое равно $ a^2-b^2 $: $ \left(\frac{1}{2}\cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\right)\left(\frac{1}{2}\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\right) = \left(\frac{1}{2}\cos x\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\right)^2 $
$ \frac{1}{4}\cos^2 x - \frac{3}{4}\sin^2 x = \frac{1}{4} $
Умножим обе части уравнения на 4: $ \cos^2 x - 3\sin^2 x = 1 $
Используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x = 1 - \cos^2 x $, чтобы выразить всё через косинус: $ \cos^2 x - 3(1 - \cos^2 x) = 1 $
$ \cos^2 x - 3 + 3\cos^2 x = 1 $
$ 4\cos^2 x = 4 $
$ \cos^2 x = 1 $
Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений: $ \cos x = 1 $ или $ \cos x = -1 $.
Решениями уравнения $ \cos x = 1 $ являются $ x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.
Решениями уравнения $ \cos x = -1 $ являются $ x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.
Объединяя эти два множества решений, получаем общую формулу: $ x = \pi n, n \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x = \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

б) Исходное уравнение: $ \sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=1 $
Воспользуемся формулой преобразования произведения тригонометрических функций в сумму: $ \sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)) $
В нашем случае $ \alpha = x+\frac{\pi}{3} $ и $ \beta = x-\frac{\pi}{6} $.
Найдем сумму и разность аргументов:
$ \alpha+\beta = \left(x+\frac{\pi}{3}\right) + \left(x-\frac{\pi}{6}\right) = 2x + \frac{2\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = 2x + \frac{\pi}{6} $
$ \alpha-\beta = \left(x+\frac{\pi}{3}\right) - \left(x-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2} $
Подставим полученные выражения в формулу и в исходное уравнение: $ \frac{1}{2}\left(\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right) = 1 $
Мы знаем, что $ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $. Подставляем это значение: $ \frac{1}{2}\left(\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) + 1\right) = 1 $
Умножим обе части уравнения на 2: $ \sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) + 1 = 2 $
$ \sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = 1 $
Это простейшее тригонометрическое уравнение. Решение для $ \sin(y) = 1 $ имеет вид $ y = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.
В нашем случае $ y = 2x + \frac{\pi}{6} $: $ 2x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $
Выразим $x$: $ 2x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k $
$ 2x = \frac{3\pi - \pi}{6} + 2\pi k $
$ 2x = \frac{2\pi}{6} + 2\pi k $
$ 2x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k $
Разделим обе части на 2: $ x = \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x = \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.