Номер 23.11, страница 78, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§23. Преобразование произведений тригонометрических функций в суммы. Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений. ч. 2 - номер 23.11, страница 78.

23.11 Найдите наименьший положительный и наибольший отрицательный корни уравнения:

а) $\sin x \sin 3x = 0,5$;

б) $\cos x \cos 3x + 0,5 = 0$.

а) $\sin x \sin 3x = 0,5$

Для решения данного уравнения воспользуемся формулой преобразования произведения синусов в разность косинусов: $\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta))$.

Применим эту формулу к нашему уравнению, где $\alpha = 3x$ и $\beta = x$:

$\frac{1}{2}(\cos(3x - x) - \cos(3x + x)) = 0,5$

$\frac{1}{2}(\cos 2x - \cos 4x) = 0,5$

$\cos 2x - \cos 4x = 1$

Теперь используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1$. В нашем случае, $\cos 4x = 2\cos^2 2x - 1$.

$\cos 2x - (2\cos^2 2x - 1) = 1$

$\cos 2x - 2\cos^2 2x + 1 = 1$

$\cos 2x - 2\cos^2 2x = 0$

Вынесем $\cos 2x$ за скобки:

$\cos 2x (1 - 2\cos 2x) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1) $\cos 2x = 0$

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$

2) $1 - 2\cos 2x = 0 \implies \cos 2x = \frac{1}{2}$

$2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Теперь найдем наименьший положительный и наибольший отрицательный корни, перебирая целочисленные значения $n$ и $k$.

Из первой серии корней $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$: при $n=0, x=\frac{\pi}{4}$; при $n=-1, x=-\frac{\pi}{4}$.

Из второй серии корней $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k$:

Для $x = \frac{\pi}{6} + \pi k$: при $k=0, x=\frac{\pi}{6}$; при $k=-1, x=-\frac{5\pi}{6}$.

Для $x = -\frac{\pi}{6} + \pi k$: при $k=0, x=-\frac{\pi}{6}$; при $k=1, x=\frac{5\pi}{6}$.

Выпишем полученные положительные корни в порядке возрастания: $\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{6}, ...$ Наименьший из них - $\frac{\pi}{6}$.

Выпишем полученные отрицательные корни: $-\frac{\pi}{4}, -\frac{5\pi}{6}, -\frac{\pi}{6}$. Наибольший (ближайший к нулю) из них - $-\frac{\pi}{6}$.

Ответ: наименьший положительный корень: $\frac{\pi}{6}$, наибольший отрицательный корень: $-\frac{\pi}{6}$.

б) $\cos x \cos 3x + 0,5 = 0$

Перепишем уравнение в виде $\cos x \cos 3x = -0,5$.

Воспользуемся формулой преобразования произведения косинусов в сумму косинусов: $\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta))$.

Применим эту формулу к нашему уравнению, где $\alpha = 3x$ и $\beta = x$:

$\frac{1}{2}(\cos(3x - x) + \cos(3x + x)) = -0,5$

$\frac{1}{2}(\cos 2x + \cos 4x) = -0,5$

$\cos 2x + \cos 4x = -1$

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 4x = 2\cos^2 2x - 1$.

$\cos 2x + (2\cos^2 2x - 1) = -1$

$2\cos^2 2x + \cos 2x = 0$

Вынесем $\cos 2x$ за скобки:

$\cos 2x (2\cos 2x + 1) = 0$

Это уравнение также распадается на два:

1) $\cos 2x = 0$

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$

2) $2\cos 2x + 1 = 0 \implies \cos 2x = -\frac{1}{2}$

$2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Найдем наименьший положительный и наибольший отрицательный корни, перебирая целочисленные значения $n$ и $k$.

Из первой серии корней $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$: при $n=0, x=\frac{\pi}{4}$; при $n=-1, x=-\frac{\pi}{4}$.

Из второй серии корней $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k$:

Для $x = \frac{\pi}{3} + \pi k$: при $k=0, x=\frac{\pi}{3}$; при $k=-1, x=-\frac{2\pi}{3}$.

Для $x = -\frac{\pi}{3} + \pi k$: при $k=0, x=-\frac{\pi}{3}$; при $k=1, x=\frac{2\pi}{3}$.

Выпишем полученные положительные корни в порядке возрастания: $\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, ...$ Так как $\frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{3}$, наименьший положительный корень - $\frac{\pi}{4}$.

Выпишем полученные отрицательные корни: $-\frac{\pi}{4}, -\frac{2\pi}{3}, -\frac{\pi}{3}$. Наибольший (ближайший к нулю) из них - $-\frac{\pi}{4}$.

Ответ: наименьший положительный корень: $\frac{\pi}{4}$, наибольший отрицательный корень: $-\frac{\pi}{4}$.